Thuộc tính
Nội dung
Tiếng Anh (English)
Văn bản gốc/PDF
Lược đồ
Liên quan hiệu lực
Liên quan nội dung
Thuộc tính
Tải về
Các bản dự thảo

Đang tải văn bản...

Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 4551:2009 về Thống kê ứng dụng - Phân tích phương sai

Số hiệu:	TCVN4551:2009	Loại văn bản:	Tiêu chuẩn Việt Nam
Nơi ban hành:	***	Người ký:	***
Ngày ban hành:	Năm 2009	Ngày hiệu lực:
ICS:	03.120.30	Tình trạng:	Đã biết

TIÊU CHUẨN QUỐC GIA

TCVN 4551 : 2009

THỐNG KÊ ỨNG DỤNG - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI

Applied statistics - Analysis of variances

Lời nói đầu

TCVN 4551 : 2009 thay thế cho TCVN 4551-1988;

TCVN 4551 : 2009 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 Ứng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn Đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố.

THỐNG KÊ ỨNG DỤNG - PHÂN TÍCH PHƯƠNG SAI

...

Bạn phải đăng nhập hoặc đăng ký Thành Viên TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.

Mọi chi tiết xin liên hệ: ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66

1. Phạm vi áp dụng

Tiêu chuẩn này quy định các mô hình và phương pháp phân tích phương sai một nhân tố và hai nhân tố, các phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết thống kê và kết luận thống kê về sự thuần nhất của sản phẩm nhằm phân loại các sản phẩm không thuần nhất.

2. Khái niệm chung

2.1. Phân tích phương sai là một tập hợp các phương pháp thống kê nhằm kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các giá trị trung bình của một đại lượng nào đó trên cơ sở so sánh các giá trị trung bình của nó trong k mẫu ngẫu nhiên độc lập rút từ k tổng thể.

2.2. Đặc trưng cơ bản của phân tích phương sai là: k tổng thể chịu tác động bởi nhân tố A, ở tổng thể thứ j (j = 1, 2, ... k) A nhận giá trị không đổi A_j.

2.2.1. Giá trị A_j được gọi là mức của nhân tố A và thường là giá trị định tính.

Số mức khác nhau của nhân tố A là hữu hạn.

Hai tổng thể khác nhau ứng với hai mức khác nhau của nhân tố A.

2.2.2. Nhân tố A có thể là đơn (một chiều) hay bội (nhiều chiều) dưới dạng tổ hợp của một số nhân tố đơn, tức là A = B x C x ... x G. Tùy theo số chiều của nhân tố mà ta có phân tích phương sai một nhân tố, hai nhân tố, ba nhân tố...

...

Tiêu chuẩn này chỉ đề cập đến mô hình phân tích phương sai một nhân tố hay hai nhân tố có tương tác.

2.3. Đại lượng Y đo được trong các mẫu rút từ các tổng thể là biến ngẫu nhiên một chiều, các giá trị quan trắc về đại lượng Y được đo với cùng một độ chính xác.

2.4. Các số liệu để tiến hành phân tích phương sai được biểu diễn dưới dạng Bảng 1.

Bảng 1

Mức của nhân tố

A₁

A₂ ...

A_i …

A_k

...

Y₁₁

Y₂₁

Y_i₁

Y_k₁

Y₁₂

Y₂₂

Y_i₂

Y_k₂

Y_1j

...

Y_ij

Y_kj

trong đó: k là số các tổng thể;

n₁, n₂,... n_k là các cỡ mẫu tương ứng rút từ tổng thể thứ 1, 2,... k,

Y_ij là giá trị đo được thứ j của Y trong mẫu rút từ tổng thể thứ i.

...

2.6. Các phương pháp xử lý số liệu trong Bảng 1 phụ thuộc vào phân bố của Y.

2.6.1. Các phương pháp phân tích phương sai tham số (xem Điều 3) đòi hỏi giả thuyết Y có phân bố chuẩn.

2.6.2. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số (xem Điều 4) không đòi hỏi giả thuyết Y_i₁, Y_i₂, ... có phân bố chuẩn.

2.7. Giả thuyết “không" H₀ phải kiểm nghiệm trong phân tích phương sai có dạng sau:

H₀ : E(Y₁) = E (Y₂) = … = E (Y_k) (1)

Giả thuyết này có nghĩa là các mức A_j của nhân tố A không có ảnh hưởng gì đến các giá trị trung bình trong các tổng thể riêng biệt, nói khác đi các giá trị trung bình đó bằng nhau.

H₁ là đối thuyết của H₀ nếu H₁ đúng thì nhân tố A có ảnh hưởng đến Y.

Khi bác bỏ H₀, phải tiến hành thêm phân tích phụ nhằm phát hiện ảnh hưởng của nhân tố A đến các giá trị của Y.

2.8. Phương pháp kiểm nghiệm giả thuyết H₀ còn phụ thuộc vào sự bằng nhau của các phương sai. Trước khi kiểm nghiệm H₀, phải kiểm nghiệm giả thuyết phụ H₀' về sự bằng nhau của phương sai:

...

Đối thuyết:

H₁' : |D(Y_i) - D (Y_j)| > 0

2.9. Sơ đồ chung phân tích phương sai và ví dụ minh họa được cho trong Phụ lục A và Phụ lục B tương ứng.

3. Phương pháp phân tích phương sai tham số

3.1. Phân tích phương sai một nhân tố

3.1.1. Mô hình phân tích phương sai một nhân tố

Nhân tố A có k mức A₁, A₂, … A_k tương ứng với k tổng thể. Mô hình có dạng sau:

Y_ij = m + a_i + e_ij(3)

trong đó: m là giá trị trung bình chung của Y;

...

e_ij là sai số ngẫu nhiên ứng với giá trị quan trắc;

Y_ij với i = 1 … k; j = 1…. n_i.

3.1.1.1. Điều kiện áp dụng của mô hình: các e_ij là độc lập, có phân bố chuẩn với trung bình bằng 0.

3.1.1.2. Phát biểu giả thuyết:

Giả thuyết có dạng:

H₀ : a₁ = a₂ = … = a_k = 0 (4)

tức là các mức của A không có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.

Đối thuyết:

H₁: không phải tất cả các a₁, a₂, ..., a_k bằng 0 (5)

...

3.1.2. Các bước tiến hành khi phân tích phương sai một nhân tố

3.1.2.1. Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai

3.1.2.1.1. Dùng quy tắc Bartlett nếu k > 2

1) Tính các giá trị

i = 1, 2, …, k (6)

2) Đặt

(7)

3) Tính các giá trị

(8)

...

4) Tính thống kê

(10)

trong đó

(11)

5) Chọn mức ý nghĩa a (thường lấy a = 0,05 hay a = 0,01). Sau đó xác định phân vị của phân bố c² với k - 1 bậc tự do.

6) So sánh giá trị c² tính được với giá trị tra bảng. Nếu:

chuyển sang 3.1.2.2.1

chuyển sang 3.1.2.2.2

3.1.2.1.2. Nếu k = 2, dùng quy tắc Fisher để so sánh hai phương sai. Nếu hai phương sai bằng nhau, có thể dùng quy tắc Student để so sánh hai giá trị trung bình.

...

3.1.2.2.1. Trường hợp các phương sai bằng nhau

Sau khi đã khẳng định giả thuyết H₀' về sự bằng nhau của các phương sai, việc kiểm nghiệm giả thuyết H₀ được tiến hành như sau:

1) Tính tổng và trung bình ứng với từng tổng thể:

với i = 1, 2, …, k

(12)

Sau đó tính tổng chung và trung bình chung:

Y_.. = Y_1.+Y_2.+…+Y_k. (13)

2) Tính các tổng bình phương sau:

...

(14)

Tổng bình phương dư (sai số):

SS_dư = (15)

Tổng bình phương chung:

(16)

Để kiểm tra, có thể dùng hệ thức sau:

SS_dư = SS - SS_A

3) Các kết quả được viết dưới dạng bảng phân tích phương sai sau:

Bảng 2

...

Tổng bình phương

Bậc tự do

Trung bình bình phương

Tỷ số F

Nhân tố

SS_A

n₁ = k - 1

...

SS_dư

n₂ = n - k

Tổng chung

n - 1

...

5) So sánh giá trị F tính được nhờ Bảng 2 với giá trị tra bảng F₁_-_a (n₁, n₂).

Nếu F ≤ F₁_-_a (n₁, n₂) thì chấp nhận H₀.

Nếu F > F₁_-_a (n₁, n₂) thì bác bỏ H₀. Điều này có nghĩa là nhân tố A thực dư có ảnh hưởng đến Y. Tiếp tục dùng các phương pháp so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những tổng thể thuần nhất.

3.1.2.2.2. Trường hợp các phương sai không bằng nhau:

Phương pháp Welch

Nếu các phương sai không bằng nhau, giả thuyết H₀ được kiểm nghiệm như sau:

1) Tính:

với i, j = 1, 2, … k (18)

với i = 1, 2, … k (19)

...

(20)

(21)

(22)

2) Tính thống kê Welch:

(23)

3) Tính biểu thức:

(24)

4) Đặt:

F = , n₁ = k-1, n₁= [¦] - 1 (25)

...

5) Với F, n₁, và n₂ tính được, thực hiện tiếp các bước 4 và 5 của trường hợp các phương sai bằng nhau (3.1.2.2.1).

3.2. Phân tích phương sai hai nhân tố

3.2.1. Cách trình bày số liệu

Nhân tố A x B là bội (xem 2.2.2) gồm hai nhân tố đơn A và B.

A có k mức là A₁, A₂,... A_k

B có m mức là B₁, B₂, ... B_m

n giá trị của Y ứng với mức (A_i, B_j) được ký hiệu là Y_ij₁, Y_i_j₂, .... Y_ijn.

Các giá trị của Y để tiến hành phân tích phương sai được trình bày trong Bảng 3.

Bảng 3

...

Các mức của nhân tố B

B₁

B₂

...

B_m

A₁

Y₁₁₁, Y₁₁₂,Y_11n

Y₁₂₁, Y₁₂₂,Y_12n

...

A₂

Y₂₁₁,Y₂₁₂,Y_21n

Y₂₂₁,Y₂₂₂,Y_22n

...

Y_2m1, Y_2m2,Y_2mn

...

A_k

Y_k₁₁, Y_k₁₂,Y_k_1n

Y_k₂₁, Y_k₂₂,Y_k_2n

…

Y_km₁, Y_km₂,Y_kmn

3.2.2. Mọi ô của Bảng 3 được giả thuyết cùng có một số quan trắc đo được với cùng độ chính xác.

3.2.3. Mô hình phân tích phương sai hai nhân tố

3.2.3.1. Mô hình có dạng sau:

Y_ij_ℓ = m + a₁ + b_j + (ab)_ij + e_ij_ℓ (26)

...

trong đó:

m - trung bình chung của đại lượng Y

a_i - hiệu quả của mức A_i của nhân tố A đối với các giá trị của Y

b_i - hiệu quả của mức B_j của nhân tố B đối với các giá trị của Y

(ab)_ij - hiệu quả hỗn hợp của mức (A_i, B_j) đối với các giá trị của Y

e_ij_ℓ - sai số ngẫu nhiên của quan sát Y_ij_ℓ

3.2.3.2. Các điều kiện áp dụng

1) Các e_ij_ℓ là độc lập, có phân bố chuẩn với trung bình 0 và phương sai như nhau.

2) Các nhân tố A và B có thể có hiệu quả âm hoặc dương đối với Y nhưng phải thỏa mãn hệ thức:

...

với mọi i

với mọi j

3.2.3.3. Phát biểu giả thuyết

Các giả thuyết được xem xét theo thứ tự sau:

1) Kiểm nghiệm sự tương tác giữa các nhân tố A và B

H_0,A_x_B : (ab)_ij = 0 với mọi i = 1, 2,.... k và j = 1, 2 ….., m

H_1,AxB: không phải mọi (ab)_ij = 0

2) Nếu giả thuyết H_0,AxB đúng tức là không có sự tương tác giữa A và B, cần kiểm nghiệm

a) Ảnh hưởng của nhân tố A đến các giá trị của Y. Cụ thể:

...

tức là các mức của A không ảnh hưởng đến các giá trị của Y.

H_1,A: không phải tất cả các a₁, a₂, ..., a_k bằng 0

b) Ảnh hưởng của nhân tố B đến các giá trị của Y:

H_0,B: b₁ = b₂ = … = b_m = 0

tức là các mức của B không ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.

H_1,B: không phải tất cả các b₁, b₂, ...., b_k đều bằng 0

3.2.4. Các bước tiến hành khi phân tích phương sai hai nhân tố

3.2.4.1. Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai của Y ứng với mọi tổng thể nhờ quy tắc Bartlett

- Đánh số lại các mẫu trong Bảng 3 bằng chỉ số i = 1, 2,... K = k x m theo thứ tự từ trái sang phải và từ trên xuống.

...

- Áp dụng quy tắc Bartlett (3.1.2.1.1) cho các mẫu vừa được thành lập, trong đó n_i = n với mọi i = 1, 2, ... K.

- Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai được chấp nhận thì chuyển sang 3.2.4.2.

- Nếu bác bỏ giả thuyết trên thì chuyển sang 3.2.4.3.

3.2.4.2. Kiểm nghiệm điều kiện ứng dụng

1) Tính các tổng:

với mọi i = 1, 2 …, k; j = 1, 2 …., m (27)

với mọi i = 1, 2 …, k (28)

với mọi j = 1, 2, …, m (29)

Tổng chung

...

2) Tính các tổng bình phương:

N = kmn (31)

(32)

(33)

(34)

SS_dư = (35)

(36)

3) Tính các trung bình bình phương

...

4) Tính các tỷ số F:

(38)

5) Viết các đại lượng vừa tính thành bảng phân tích phương sai hai nhân tố như sau:

Bảng 4

Nguồn biến động

Tổng bình phương

Bậc tự do

Trung bình bình phương

Tỷ số F

...

SS_A

k - 1

MS_A

F_A

Nhân tố B

SS_B

m - 1

MS_B

F_B

...

SS_AXB

(k - 1)(m - 1)

MS_AXB

F_AXB

Sai số

SS_dư

N - km

MS_dư

...

N - 1

3.2.4.2.1. Kiểm nghiệm giả thuyết H_0,AXB

1) Chọn mức ý nghĩa a. Đặt n₁ = (k - 1)(m - 1), n₂ = N - km và tra Bảng 5 để tìm phân vị F_1-_a(n₁, n₂).

2) So sánh tỷ số F_A_X_B tính được với giá trị F₁_-_a(n₁, n₂)

- Nếu F_AxB < F₁_-_a(n₁, n₂) thì chấp nhận giả thuyết H_0,AxB, sau đó kiểm định giả thuyết H₀_,A và H_0,B (xem 3.2.4.2.2 và 3.2.4.2.3).

- Nếu F_AxB > F₁_-_a(n₁, n₂) thì bác bỏ H_0,AxB và kết luận là các tổ hợp của nhân tố AxB có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.

...

Tiếp đó chuyển sang so sánh đồng thời (xem 3.3) để tách ra những nhóm tổng thể thuần nhất.

3.2.4.2.2. Kiểm nghiệm giả thuyết H_0,A

1) Đặt n₁ = k - 1, n₂ = N - km và xác định phân vị F_1-_a(n₁, n₂) theo Bảng 5 với mức ý nghĩa a.

2) So sánh trị số F_A tính được với giá trị tra bảng F_1-_a(n₁, n₂)

- Nếu F_A ≤ F_1-_a(n₁, n₂): chấp nhận giả thuyết H_0,A theo 3.2.3.3.2.

- Nếu F_A > F_1-_a(n₁, n₂): bác bỏ H_0,A và suy ra kết luận các mức của nhân tố A là có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.

với i = 1, 2, … k

Để tách các mẫu thuần nhất theo Y, ta phải thực hiện so sánh đồng thời (3.3).

3.2.4.2.3. Kiểm nghiệm giả thuyết H_0,_B

...

2) So sánh F_B tính được với giá trị tra bảng F_1-_a(n₁, n₂)

- Nếu F_B ≤ F_1-_a(n₁, n₂) ta chấp nhận H_0,B nhờ 3.2.3.3.3.

- Nếu F_B > F_1-_a(n₁, n₂) ta bác bỏ H₀_,B và kết luận các mức của nhân tố B có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình.

với j = 1, 2, … m

Để phát hiện các mẫu thuần nhất theo Y cần phải thực hiện phép so sánh đồng thời (3.3).

3.2.4.3. Nếu giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai bị bác bỏ, phân tích phương sai hai nhân tố được chuyển thành phép phân tích phương sai một nhân tố với các phương sai không bằng nhau (3.1.2.2.2) với số mức K = kmn.

3.3. So sánh đồng thời

3.3.1. Trường hợp các phương sai bằng nhau

Phương pháp Student - Newman - Keuls

...

1) Sắp xếp các trung bình mẫu , theo thứ tự tăng dần và đánh số lại các tổng thể theo chỉ số của dãy mới thu được:

Ở đây:

cho trường hợp phân tích một nhân tố (ℓ = 1, 2, …, k);

cho trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác (ℓ = 1, 2, …, K = k x m);

cho trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A (ℓ = 1, 2, …, K = k);

cho trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B (ℓ = 1, 2, …., K = m).

2) Tính đại lượng:

(39)

...

(40)

với n_ℓ là số quan sát trong nhóm thứ ℓ

Ở đây:

n_ℓ = n_i trong trường hợp phân tích một nhân tố;

n_ℓ = n trong trường hợp phân tích hai nhân tố có tương tác;

n_ℓ = n x m trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố A;

n_ℓ = k x n trong trường hợp phân tích hai nhân tố theo nhân tố B.

3) Với mức ý nghĩa a (thường a = 0,1; a = 0,05; a = 0,01), tra Bảng 6 để tìm R (a,n₃,n₄) phân vị trên của phân bố của độ rộng đã được Student hóa trong đó n₃ = 2, 3, …, k; n₄ là số bậc tự do của tổng các bình phương dư.

Đặt M = K

...

(41)

với i = 1, 2, …., M - 1.

5) So sánh giá trị SR(M,i) với giá trị tới hạn R (a, M - i + 1, n₄) với i = 1, 2, …, M - 1.

Giả sử:

I_M = max {i, SR(M,i) ≥ R(a, M - i + 1, n₄)} (42)

tức I_M là chỉ số i lớn nhất sao cho thống kê SR(M,i) vượt qua phân vị R (a, M - i + 1, n₄).

Các tổng thể còn lại với các chỉ số lớn hơn I_M cho ta:

SR(M,i) < R(a, M - i + 1, n₄) (43)

i = I_M + 1, I_M + 2, …, M

...

6) Sau khi tách các tổng thể thuần nhất I_M + 1, I_M + 2, …, M thành một nhóm, đặt M = I_M và tiếp tục tìm các nhóm tổng thể thuần nhất bằng cách lặp lại bước 4 và 5 của 3.3.1 cho những tổng thể còn lại 1, 2, ... I_M cho đến khi phát hiện đầy đủ tất cả các nhóm thuần nhất.

CHÚ THÍCH: Quy tắc này được thực hiện với các nhóm tổng thể thuần nhất và rời nhau.

3.3.2. Trường hợp phương sai không bằng nhau

Quy tắc Dunnett so sánh các cặp trung bình có thể có:

1) Chọn mức ý nghĩa a (a = 0,10; a = 0,05 hay a = 0,01). Tra Bảng 6 với i = 1, 2 …, k để tìm phân vị trên R (a, k, n_i - 1).

2) Với mọi cặp i j, tính:

(44)

trong đó , được tính bằng công thức (19).

...

;

đó là giới hạn tin cậy của hiệu a_i - a_j.

4) Nếu g_i_j < 0 và > 0 thì kết luận nhóm có chỉ số i không khác nhóm có chỉ số j. Xét tiếp cặp chỉ số mới (i, j) và lặp lại mọi thủ tục như đối với cặp (i, j).

CHÚ THÍCH: Quy tắc trên được thực hiện với các nhóm tổng thể thuần nhất và rời nhau.

4. Các phương pháp phân tích phương sai phi tham số

4.1. Phạm vi ứng dụng

Nếu giả thuyết phân bố chuẩn của Y không được thỏa mãn (xem 2.6) thì phải dùng các phương pháp của mục này. Mô hình được giả thuyết là một nhân tố. Với mô hình nhiều nhân tố cần được đưa về mô hình một nhân tố như đã chỉ ra trong 3.2.2.2. Các số liệu cũng được biểu diễn dưới dạng Bảng 1. Mọi ký hiệu vẫn được giữ nguyên.

4.2. Mô hình một nhân tố

Như trong 3.1.1

...

Mọi e_ij là độc lập và được lấy ra từ cùng một tổng thể.

4.2.2. Phát biểu giả thuyết

Như trong 3.1.1.2.

4.2.3. Các bước tiến hành

4.2.3.1. Kiểm tra sự bằng nhau giữa các phương sai của đại lượng Y theo mọi mẫu nhờ quy tắc Brown - Forsythe

1) Sắp xếp các quan sát Y_i1, Y_i2, …, theo thứ tự tăng:

(46)

Tính trung vị mẫu:

nếu n_i chẵn (47a)

...

2) Tính giá trị tuyệt đối của các hiệu số:

với mọi i = 1, …, k; j = 1, …, n_i (48)

3) Tính các trung bình:

i = 1, 2, …, k (49)

(50)

trong đó:

4) Tính giá trị của thống kê Brovvn - Forsythe:

(51)

5) Đặt n₁ = k - 1, n₂ = N - k. Với mức ý nghĩa a, tra bảng để tìm điểm phân vị F_1-_a (n₁, n₂) của phân bố F.

...

- Nếu W₀ ≤ F_1-_a (n₁, n₂) ta chấp nhận giả thuyết về tính thuần nhất của e_ij và chuyển sang 4.2.3.2.

- Nếu W₀ > F_1-_a (n₁, n₂) ta kết luận điều kiện áp dụng của 4.2.1 không được thỏa mãn.

4.2.3.2. Quy tắc Kruskal - Wallis để kiểm nghiệm giả thuyết cơ bản

1) Sắp xếp tất cả quan sát (Bảng 1) theo thứ tự tăng dần:

Y₍₁₎ ≤ Y₍₂₎ ≤ … ≤ Y_(N) (52)

Nếu có hai (hay nhiều) quan sát có giá trị trùng nhau thì gán cho chúng cùng một hạng bằng tổng các chỉ số đó chia cho các quan sát trùng nhau. Ví dụ nếu Y₍₇₎ = Y₍₈₎ = Y₍₉₎ thì chúng đều được gán hạng

2) Ký hiệu r_i_j là hạng của quan sát Y_ij trong cách sắp xếp hạng trên.

3) Với i = 1, 2, …, k, đặt:

; (53)

...

(54a)

nếu các quan sát không trùng nhau, hoặc thống kê:

(54b)

nếu có các quan sát trùng nhau.

trong đó: g - số nhóm các quan sát trùng nhau;

t_j - số các hạng giống nhau trong nhóm thứ j.

5) Chọn mức ý nghĩa a (a = 0,1; 0,05 hay 0,01)

- Nếu k = 3 (có 3 tổng thể cần so sánh) và với cỡ mẫu nhỏ (mỗi một trong các số n₁, n₂, n₃ không vượt quá 5). Ta dùng Bảng 7 để xác định phân vị h_a_,_k (n₁, n₂, n₃).

Đặt h₂ = h_a_{, k} (n₁, n₂, n₃) và chuyển sang 6).

...

- Nếu cỡ mẫu lớn, tra phân vị của phân bố c² với k - 1 bậc tự do. Đặt

6) So sánh giá trị tính được h (hay h') với giá trị tới hạn h_a.

- Nếu h ≤ h_a. chấp nhận giả thuyết H₀ về sự không sai khác giữa các tổng thể.

- Nếu h > h_a: bác bỏ H₀ và suy ra kết luận các mức của nhân tố A có ảnh hưởng đến các giá trị trung bình của Y.

4.3. So sánh đồng thời

Các bước cụ thể như sau:

- Sắp xếp các giá trị R_i theo thứ tự tăng dần:

R₍₁₎ ≤ R₍₂₎ ≤ … ≤ R_(k) (55)

và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự hạng của chúng.

...

4.3.1. Trường hợp các cỡ mẫu bằng nhau

4.3.1.1. Quy tắc Kruskal - Wallis (khi cỡ mẫu nhỏ)

1) Chọn mức ý nghĩa a. Với k, n và a, tra Bảng 8 để tìm giá trị tới hạn y (a, k, n). Đặt M = k.

2) So sánh hiệu số

R_(M) - R₍_i₎ (i = 1, 2, …, M - 1) với giá trị tới hạn y (a, k, n).

Giả sử:

I_M = max {i : R_(M) - R_(i) ≥ y (a, k, n)} (56)

I_M bằng chỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp sau đó thực hiện bất đẳng thức:

i = 1, 2, …, M - I_M(57)

...

3) Sau khi tách nhóm các tổng thể thuần nhất I_M + 1, I_M + 2, …, M, tiếp tục so sánh các hiệu , i = 1, 2, …, I_M - 1 với giá trị tới hạn y (a, k, n). Đặt M = I_M và chuyển sang thuật toán ở 2) cho đến khi phát hiện đầy đủ mọi nhóm các tổng thể thuần nhất.

4.3.1.2. Quy tắc tiệm cận (trường hợp các mẫu lớn)

Nếu cỡ mẫu vượt ra khỏi giới hạn của Bảng 8 thì phải dùng phương pháp tiệm cận.

1) Với mức ý nghĩa a đã chọn và với số nhóm k, cần tính q_a (k) nhờ Bảng 9.

2) Xác định giá trị tới hạn:

(58)

3) Tiếp tục các bước 2 và 3 giống như trường hợp 4.3.1.1.

4.3.2. Trường hợp cỡ mẫu không bằng nhau

Các bước tiến hành

...

- Sắp xếp các hạng trung bình R_i. theo thứ tự tăng dần:

R_(1.) ≤ R_(2.) ≤ … ≤ R_(k.) (59)

và đánh số lại các tổng thể theo thứ tự đã sắp xếp của hạng trung bình.

4.3.2.1. Trường hợp cỡ mẫu nhỏ:

1) Cho trước mức ý nghĩa a, k và các cỡ mẫu (n₁, n₂, n₃) tra Bảng 7 để tìm phân vị h_a_,_k (n₁, n₂, n₃).

2) Chọn M = k và tính giá trị tới hạn

(60)

với mọi i = 1, 2, …, M.

3) So sánh hiệu số R_(M.) - R_(i.) với các giá trị tới hạn Y_M,i với mọi i = 1, 2, …, M - 1. Giả sử:

...

I_M là chỉ số của tổng thể sao cho với các tổng thể tiếp đó bắt đầu thực hiện các bất đẳng thức ngược:

(i = 1, 2, …, M - I_M) (62)

Từ đó suy ra, các tổng thể với các chỉ số I_M + 1, I_M + 2, …, M là không khác nhau theo Y.

4) Sau khi tách nhóm những tổng thể không khác nhau với các chỉ số I_M+1, I_M+2, ..., M, đặt M = l_M rồi tiếp tục các bước 2) và 3) của điều này cho các tổng thể còn lại cho đến khi tách được hoàn toàn các nhóm gồm tổng thể thuần nhất theo Y.

4.3.2.2. Trường hợp các mẫu lớn

Đối với những trường hợp không gặp trong Bảng 7 và các n_i > 5, cần dùng những phương pháp tiệm cận.

1) Với mức ý nghĩa a đã chọn, tính

Dùng Bảng 10 để tra phân vị U_p của phân bố chuẩn. Đặt M = k.

2) Tính giá trị tới hạn:

...

với mọi i = 1, 2, …, M.

3) Tiếp tục các bước 3 và 4 của trường hợp 4.3.2.1. Sau khi tách các nhóm tổng thể không khác biệt, việc so sánh tiếp theo được đưa vào giá trị tới hạn cho bởi công thức (63) (xem các chú thích trong 3.3.1 và 3.3.2).

Bảng 5 - Phân vị của phân bố F

P {F > F₁_-_a (n₁, n₂)} = a

1) a = 0,05; 1 - a = 0,95

n₂

n₁

...

161

...

216

225

230

234

237

239

241

242

...

19,0

19,2

1,93

19,3

19,4

...

10,1

9,55

9,28

9,12

9,01

8,94

8,89

8,85

8,81

...

7,71

6,94

6,59

6,39

6,26

6,16

6,09

6,04

...

5,96

6,61

5,79

5,41

5,19

5,05

4,95

4,88

...

4,77

4,74

5,99

5,14

4,76

4,53

4,39

4,28

...

4,15

4,10

4,06

5,59

4,74

4,35

4,12

3,97

...

3,79

3,73

3,68

3,64

5,32

4,46

4,07

3,84

...

3,58

3,50

3,44

3,39

3,35

5,12

4,26

3,86

...

3,48

3,37

3,29

3,23

3,18

3,14

4,96

4,10

...

3,48

3,33

3,22

3,14

3,07

3,02

2,98

4,84

...

3,59

3,36

3,20

3,09

3,01

2,95

2,90

2,85

...

3,89

3,49

3,26

3,11

3,00

2,91

2,85

2,80

2,75

...

4,67

3,81

3,41

3,18

3,03

2,92

2,83

2,77

2,71

...

4,60

3,74

3,34

3,11

2,96

2,85

2,76

2,70

...

2,60

4,54

3,68

3,29

3,06

2,90

2,79

2,71

...

2,59

2,54

4,49

3,63

3,24

3,01

2,85

2,74

...

2,59

2,54

2,49

4,45

3,59

3,20

2,96

2,81

...

2,61

2,55

2,49

2,45

4,41

3,55

3,16

293

...

2,66

2,58

2,51

2,46

2,41

4,38

3,52

313

...

2,74

2,63

2,54

2,48

2,42

2,38

4,35

3,49

...

2,87

2,71

2,60

2,51

2,45

2,39

2,35

4,32

...

3,07

2,84

2,68

2,57

2,49

2,42

2,37

2,32

...

3,44

3,05

2,82

2,66

2,55

2,46

2,40

2,34

2,30

...

4,28

3,42

3,03

2,80

2,64

2,53

2,46

2,37

2,32

...

4,26

3,40

3,01

2,78

2,62

2,51

2,42

2,36

...

2,25

4,24

3,39

2,99

2,76

2,60

2,49

2,40

...

2,28

2,24

4,23

3,37

2,98

2,74

2,59

2,47

...

2,32

2,27

2,22

4,21

3,35

2,96

2,73

2,57

...

2,37

2,31

2,25

2,20

4,20

3,34

2,95

2,71

...

2,45

2,36

2,29

2,24

2,19

4,18

3,33

2,93

...

2,55

2,43

2,35

2,28

2,22

2,18

4,17

3,32

...

2,69

2,53

2,42

2,33

2,27

2,21

2,16

4,13

...

2,88

2,65

2,49

2,38

2,29

2,23

2,17

2,12

...

3,23

2,84

2,61

2,45

2,34

2,25

2,18

2,12

2,08

...

4,03

3,18

2,79

2,56

2,40

2,29

2,20

2,13

2,07

...

3,98

3,13

2,74

2,50

2,35

2,23

2,14

2,07

...

1,97

100

3,94

3,09

2,70

2,46

2,31

2,19

2,10

...

1,97

1,93

200

3,89

3,04

2,65

2,42

2,26

2,14

...

1,98

1,93

1,88

500

3,86

3,01

2,62

2,39

2,23

...

2,03

1,96

1,90

1,85

3,84

3,00

2,60

2,37

...

2,10

2,01

1,94

1,88

1,83

Bảng 5 (tiếp theo)

1) a = 0,05; 1 - a = 0,95

n₂

n₁

...

100

...

244

245

246

247

248

249

250

251

...

253

254

19,4

19,5

...

19,5

8,74

8,71

8,69

8,67

...

8,64

8,62

8,59

8,57

8,55

8,53

5,91

5,87

...

5,82

5,80

5,77

5,75

5,72

5,69

5,66

5,63

...

4,64

4,60

4,58

4,56

4,53

4,50

4,46

4,43

4,41

...

4,00

3,96

3,92

3,90

3,87

3,84

3,81

3,77

...

3,71

3,67

3,57

3,53

3,49

3,47

3,44

3,41

...

3,34

3,30

3,27

3,23

3,28

3,24

3,20

3,17

...

3,12

3,08

3,04

3,01

2,97

2,93

3,07

3,03

...

2,96

2,94

2,90

2,86

2,83

2,79

2,76

2,71

...

2,86

2,83

2,80

2,77

2,74

2,70

2,66

2,62

2,59

...

2,79

2,74

2,70

2,67

2,65

2,61

2,57

2,53

...

2,46

2,40

2,69

2,64

2,60

2,57

2,54

2,51

...

2,43

2,38

2,35

2,30

2,60

2,55

2,51

2,48

...

2,42

2,38

2,34

2,30

2,26

2,21

2,53

2,43

...

2,41

2,39

2,35

2,31

2,27

2,22

2,19

2,13

...

2,42

2,38

2,35

2,33

2,29

2,25

2,20

2,16

2,12

...

2,42

2,37

2,33

2,30

2,28

2,24

2,19

2,15

...

2,07

2,01

2,38

2,33

2,29

2,26

2,23

2,19

...

2,10

2,06

20,2

1,96

2,34

2,29

2,25

2,22

...

2,15

2,11

2,06

2,02

1,98

1,92

2,31

2,26

...

2,18

2,16

2,11

2,07

2,03

1,98

1,94

1,88

...

2,22

2,18

2,15

2,12

2,08

2,04

1,99

1,95

1,91

...

2,25

2,20

2,16

2,12

2,10

2,05

2,01

1,96

...

1,88

1,81

2,23

2,17

2,13

2,10

2,07

2,03

...

1,94

1,89

1,85

1,78

2,20

2,15

2,11

2,07

...

2,00

1,96

1,91

1,86

1,82

1,76

2,18

2,13

...

2,05

2,03

1,98

1,94

1,89

1,84

1,80

1,73

...

2,11

2,07

2,04

2,01

1,96

1,92

1,87

1,82

1,78

...

2,15

2,09

2,05

2,02

1,99

1,95

1,90

1,85

...

1,76

1,69

2,13

2,08

2,04

2,00

1,97

1,93

...

1,84

1,79

1,74

1,67

2,12

1,06

2,02

1,99

...

1,91

1,87

1,82

1,77

1,73

1,65

2,10

2,05

...

1,97

1,94

1,90

1,85

1,81

1,75

1,71

1,64

...

2,04

1,99

1,96

1,93

1,89

1,84

1,79

1,74

1,70

...

2,05

1,99

1,95

1,92

1,89

1,84

1,80

1,75

...

1,65

1,57

2,00

1,95

1,90

1,87

1,84

1,79

...

1,69

1,34

1,59

1,51

1,95

1,89

1,85

1,81

...

1,74

1,69

1,63

1,58

1,52

1,44

1,89

1,84

...

1,75

1,72

1,67

1,62

1,57

1,50

1,45

1,35

100

...

1,79

1,75

1,71

1,68

1,63

1,57

1,52

1,45

1,39

...

200

1,80

1,74

1,69

1,66

1,62

1,57

1,52

1,46

...

1,32

1,19

500

1,77

1,71

1,66

1,62

1,59

1,54

...

1,42

1,34

1,28

1,11

1,75

1,69

1,64

1,60

...

1,52

1,46

1,39

1,32

1,24

1,00

Bảng 5 (tiếp theo)

2) a = 0,01; 1 - a = 0,99

n₂

...

4050

5000

5400

5630

5730

5830

5930

7980

...

6060

98,5

99,0

99,2

99,3

99,4

...

99,4

34,1

30,8

29,5

28,7

28,2

27,9

...

27,5

27,3

27,2

21,2

18,0

16,7

16,0

15,5

...

15,0

14,8

14,7

14,5

16,3

13,3

12,1

11,4

...

10,7

10,5

10,3

10,2

10 1

13,7

10,9

9,78

...

8,75

8,47

8,26

8,10

7,98

7,87

12,2

9,55

...

7,85

7,46

7,19

6,99

6,84

6,72

6,62

11,3

...

7,59

7,01

6,63

6,37

6,18

6,03

5,91

5,81

...

8,02

6,99

6,42

6,06

5,80

5,61

5,47

5,35

5,26

...

10,0

7,56

6,55

5,99

5,64

5,39

5,20

5,06

4,94

...

9,65

7,21

6,22

5,67

5,32

5,07

4,89

4,30

...

4,54

9,33

6,93

5,95

5,41

5,06

4,82

4,64

...

4,39

4,30

9,07

6,70

5,74

5,21

4,86

4,62

...

4,30

4,19

4,10

8,86

6,51

5,56

5,04

4,69

...

4,28

4,14

4,03

3,94

8,68

6,36

5,42

4,89

...

4,32

4,14

4,00

3,89

3,80

8,53

6,23

5,29

...

4,44

4,20

4,03

3,89

3,78

3,69

8,40

6,11

...

4,67

4,34

4,10

3,93

3,79

3,68

3,59

8,29

...

5,09

4,58

4,25

4,01

3,84

3,71

3,60

3,51

...

5,93

5,01

450

4,17

3,94

3,77

3,63

3,52

3,43

...

8,10

5,85

4,94

4,43

4,10

3,87

3,70

3,56

3,46

...

8,02

5,78

4,87

437

4,04

3,81

3,64

3,51

...

3,31

7,95

5,72

4,82

4,31

3,99

3,76

3,59

...

3,35

3,26

7,88

5,66

4,76

4,26

3,94

3,71

...

3,41

3,30

3,21

7,82

5,61

4,72

4,22

3,90

...

3,50

3,36

3,26

3,17

7,77

5,57

4,68

4,18

...

3,63

3,46

3,32

3,22

3,13

7,72

5,53

4,46

...

3,82

3,59

3,42

3,29

3,18

3,09

7,68

5,49

...

4,11

3,78

3,56

3,39

3,26

3,15

3,06

7,64

...

4,57

4,07

3,75

3,53

3,36

3,23

3,12

3,03

...

5,42

4,54

4,04

3,73

3,50

3,33

3,20

3,09

3,00

...

7,56

5,39

4,51

4,02

3,70

3,47

3,30

3,17

3,07

...

7,44

5,29

4,42

3,93

3,61

3,39

3,22

3,09

...

2,89

7,31

5,18

4,31

3,83

3,51

3,29

3,12

...

2,89

2,80

7,17

5,06

4,20

3,72

3,41

3,19

...

2,89

2,79

2,70

7,01

4,92

4,08

3,60

3,29

...

2,91

2,78

2,67

2,59

100

6,90

4,82

3,98

3,51

...

2,99

2,82

2,69

2,59

2,50

200

6,76

4,71

3,88

...

3,11

2,89

2,73

2,60

2,50

2,41

500

6,69

4,65

...

3,36

3,05

2,84

2,68

2,55

2,44

2,36

6,63

...

3,78

3,32

3,02

2,80

2,64

2,52

2,41

2,32

Bảng 5 (kết thúc)

...

n₂

n₁

...

100

6110

6140

6170

6190

6210

...

6260

6290

6310

6330

6370

99,4

...

99,4

99,5

27,1

...

26,8

26,7

26,6

26,5

26,4

26,3

26,2

26,1

...

14,4

14,2

14,1

14,0

13,9

13,8

13,7

...

13,5

9,89

9,77

9,68

9,61

9,55

9,47

9,38

...

9,20

9,13

9,02

7,72

7,60

7,52

7,45

7,40

...

7,23

7,14

7,06

6,99

6,88

6,47

6,36

6,27

...

6,16

6,07

5,99

5,91

5,82

5,75

5,65

5,67

...

5,48

5,41

5,36

5,28

5,20

5,12

5,03

4,96

4,86

...

5,11

5,00

4,92

4,86

4,81

4,73

4,65

4,57

4,48

...

4,31

4,71

4,60

4,55

4,46

4,41

4,33

4,25

...

4,08

4,01

3,91

4,40

4,29

4,21

4,15

4,10

...

3,94

3,86

3,78

3,71

3,60

4,16

4,05

3,97

...

3,86

3,78

3,70

3,62

3,54

3,47

3,36

3,96

...

3,78

3,72

3,66

3,59

3,51

3,43

3,34

3,27

3,17

...

3,80

3,70

3,62

3,56

3,51

3,43

3,35

3,27

3,18

...

3,00

3,67

3,56

3,49

3,42

3,37

3,29

3,21

...

3,05

2,98

2,87

3,55

3,45

3,37

3,31

3,26

...

3,10

3,02

2,93

2,86

2,75

3,46

3,35

3,27

...

3,16

3,08

3,00

2,92

2,83

2,76

2,65

3,37

...

3,19

3,13

3,08

3,00

2,92

2,84

2,75

2,68

2,57

...

3,30

3,19

3,12

3,05

3,00

2,92

2,84

2,67

...

2,49

3,23

3,13

3,05

2,99

2,94

2,86

2,78

...

2,61

2,54

2,42

3,17

3,07

2,99

2,93

2,88

...

2,72

2,64

2,55

2,48

2,36

3,12

3,02

2,94

...

2,83

2,75

2,67

2,58

2,50

2,42

2,31

3,07

...

2,89

2,83

2,78

2,70

2,62

2,54

2,45

2,37

2,26

...

3,03

2,93

2,85

2,79

2,74

2,66

2,58

2,49

2,40

...

2,21

2,99

2,89

2,81

2,75

2,70

2,62

2,54

...

2,36

2,29

2,17

2,96

2,86

2,78

2,72

2,66

...

2,50

2,42

2,33

2,25

2,13

2,93

2,82

2,75

...

2,63

2,55

2,47

2,38

2,29

2,22

2,10

2,90

...

2,72

2,65

2,60

2,52

2,44

2,35

2,26

2,19

2,06

...

2,87

2,77

2,69

2,63

2,57

2,49

2,41

2,33

2,23

...

2,03

2,84

2,74

2,66

2,60

2,55

2,47

2,39

...

2,21

2,13

2,01

2,76

2,66

2,58

2,51

2,46

...

2,30

2,21

2,12

2,04

1,91

2,66

2,56

2,48

...

2,37

2,29

2,20

2,11

2,02

1,94

1,80

2,56

...

2,38

2,32

2,27

2,18

2,10

2,01

1,91

1,82

1,68

...

2,45

2,35

2,27

2,20

2,15

2,07

1,98

1,89

1,78

...

1,54

100

2,37

2,26

2,19

2,12

2,07

1,98

1,89

...

1,69

1,60

1,43

200

2,27

2,17

2,09

2,02

1,97

...

1,79

1,69

1,58

1,48

1,28

500

2,22

2,12

2,04

...

1,92

1,83

1,74

1,63

1,52

1,41

1,16

2,18

...

2,00

1,93

1,88

1,79

1,70

1,59

1,47

1,36

1,00

...

R(a, n₃, n₄); P {SR ≥ R(a, n₃, n₄)} = a

1) a = 0,10

n₄

n₃

...

6,93

13,44

16,36

18,49

20,15

...

22,64

24,62

25,49

4,13

5,73

6,77

7,54

8,14

...

9,05

9,41

10,72

3,33

4,47

4,20

5,74

6,16

...

6,81

7,06

7,29

3,01

3,98

4,50

5,03

5,39

...

5,93

6,14

6,33

2,85

3,72

4,26

4,66

4,93

...

5,46

5,65

5,82

2,76

3,56

4,07

4,44

4,73

...

5,17

5,34

5,50

2,68

3,45

3,93

4,28

4,55

...

4,97

5,14

5,28

2,63

3,37

3,83

4,17

4,43

...

4,83

4,99

5,13

2,59

3,32

3,76

4,08

4,34

...

4,72

4,87

5,01

2,56

3,27

3,70

4,02

4,26

...

4,64

4,78

4,91

2,54

3,23

3,66

3,95

4,20

...

4,57

4,71

4,84

2,52

3,20

3,62

3,92

4,16

...

4,51

4,65

4,78

2,50

3,18

3,59

3,83

4,12

...

4,46

4,60

4,72

2,49

3,16

3,56

3,85

4,08

...

4,42

4,56

4,68

2,48

3,14

3,54

3,83

4,05

...

4,39

4,52

4,64

2,47

3,12

3,52

3,80

4,03

...

4,36

4,49

4,61

2,46

3,11

3,50

3,78

4,00

...

4,33

4,46

4,58

2,45

3,10

3,49

3,77

3,98

...

4,31

4,44

4,55

2,45

3,09

3,47

3,75

3,97

...

4,29

4,42

4,53

2,44

3,08

3,46

3,74

3,95

...

4,27

4,40

4,51

2,42

3,05

3,42

3,69

3,90

...

4,21

4,34

4,44

2,40

3,02

3.39

3,65

3,85

...

4,16

4,28

4,38

2,38

2,99

3,35

3,60

3,80

...

4,10

4,21

4,32

2,36

2,96

3,31

3,58

3,75

...

4,04

4,16

4,25

120

2,34

2,93

3,28

3,52

3,71

...

3,99

4,10

4,19

2,33

2,90

3,24

3,48

3,66

...

3,93

4,04

4,13

Bảng 6 (tiếp theo)

1) a = 0,10

n₄

n₃

...

25,24

...

26,54

27,10

27,62

28,10

28,54

28,96

29,35

29,71

...

10,26

10,49

10,70

10,80

11,07

11,24

11,39

11,54

11,68

...

7,49

7,67

7,83

7,98

8,12

8,25

8,37

8,48

8,58

...

6,49

6,65

6,78

6,91

7,02

7,13

7,23

7,33

...

7,50

5,97

6,10

6,22

6,34

6,44

6,54

6,63

...

6,79

6,86

5,64

5,76

5,87

5,98

6,07

6,16

...

6,32

6,40

6,47

5,41

5,53

5,64

5,74

5,83

...

5,99

6,06

6,13

6,19

5,25

5,36

5,46

5,56

...

5,72

5,80

5,87

5,93

6,00

5,13

5,23

5,33

...

5,51

5,58

5,66

5,72

5,79

5,85

5,03

5,13

...

5,32

5,40

5,47

5,54

5,61

5,67

5,73

4,95

...

5,15

5,23

5,31

5,38

5,45

5,51

5,57

5,63

...

4,99

5,08

5,16

5,24

5,31

5,37

5,44

5,49

5,55

...

4,83

4,93

5,02

5,10

5,18

5,25

5,31

5,37

5,43

...

4,79

4,88

4,97

5,05

5,12

5,19

5,26

5,32

...

5,43

4,75

4,84

4,93

5,01

5,08

5,15

5,21

...

5,32

5,38

4,71

4,81

4,89

4,97

5,04

5,11

...

5,23

5,28

5,33

4,68

4,77

4,86

4,93

5,01

...

5,13

5,19

5,24

5,30

4,65

4,75

4,83

4,90

...

5,04

5,10

5,16

5,21

5,26

4,63

4,72

4,80

...

4,95

5,01

5,07

5,13

5,18

5,23

4,61

4,70

...

4,85

4,92

4,99

5,05

5,10

5,16

5,20

4,54

...

4,71

4,78

4,85

4,91

4,97

5,02

5,07

5,12

...

4,56

4,64

4,71

4,77

4,83

4,89

4,94

4,99

5,03

...

4,41

4,48

4,56

4,63

4,69

4,76

4,81

4,86

4,90

...

4,34

4,42

4,49

4,58

4,62

4,67

4,73

4,78

...

4,86

120

4,28

4,35

4,42

4,48

4,54

4,60

4,65

...

4,74

4,78

4,21

4,28

4,35

4,41

4,47

4,52

...

4,61

4,65

4,69

Bảng 6 (tiếp theo)

2) a = 0,05

n₄

n₃

...

17,97

26,98

...

37,08

40,41

43,12

45,40

47,36

49,07

6,08

8,33

...

10,88

11,74

12,44

13,03

13,54

13,99

4,50

5,91

...

7,50

8,04

8,48

8,85

9,18

9,40

3,93

5,04

...

6,29

6,71

7,05

7,35

7,60

8,83

3,64

4,60

...

5,67

6,03

6,33

6,58

6,80

7,99

3,46

4,34

...

5,30

5,63

5,90

6,12

6,32

6,49

3,34

4,16

...

5,06

5,36

5,61

5,82

5,00

6,19

3,26

4,04

...

4,89

5,17

5,40

5,60

5,77

6,92

3,20

3,95

...

4,76

5,02

5,24

5,43

5,59

5,74

3,15

3,88

...

4,65

4,91

5,12

5,30

5,46

5,60

3,11

3,82

...

4,57

4,82

5,03

5,20

5,35

5,49

3,08

3,77

...

4,51

4,75

4,95

5,12

5,27

5,39

3,06

3,73

...

4,45

4,64

4,88

5,05

5,19

5,32

3,03

3,70

...

4,41

4,64

4,83

4,99

5,13

5,25

3,01

3,67

...

4,37

4,59

4,78

4,94

5,08

5,20

3,00

3,65

...

4,33

4,56

4,74

4,90

5,03

5,15

2,98

3,63

...

4,30

4,52

4,70

4,86

4,99

5,11

2,97

3,61

...

4,28

4,49

4,67

4,82

4,96

5,07

2,96

3,59

...

4,25

4,47

4,65

4,79

4,92

5,04

2,95

3,58

...

4,23

4,45

4,62

4,77

4,90

5,01

2,92

3,53

...

4,17

4,37

4,54

4,68

4,81

4,92

2,89

3,49

...

4,10

4,30

4,46

4,60

4,72

4,82

2,86

3,44

...

4,04

4,23

4,39

4,52

4,63

4,73

2,83

3,40

...

3,98

4,16

4,31

4,44

4,55

4,65

120

2,80

3,36

...

3,92

4,10

4,24

4,36

4,47

4,56

2,77

3,31

...

3,86

4,03

4,17

4,29

4,39

4,47

Bảng 6 (tiếp theo)

2) a = 0,05

n₄

...

50,59

51,96

53,20

54,33

55,36

56,32

57,22

58,04

...

59,58

14,39

14,75

16,08

15,38

15,65

15,91

16,14

...

16,57

16,77

9,72

9,95

10,15

10,35

10,52

10,69

...

10,98

11,11

11,24

8,03

8,21

8,37

8,32

8,66

...

8,91

9,03

9,13

9,23

7,17

7,32

7,47

7,60

...

7,83

7,93

8,03

8,12

8,21

6,65

6,79

6,92

...

7,14

7,24

7,34

7,43

7,51

7,59

6,30

6,43

...

6,66

6,76

6,85

6,94

7,02

7,10

7,17

6,05

...

6,29

6,39

6,48

6,57

6,65

6,73

6,80

6,87

...

5,98

6,09

6,19

6,28

6,36

6,44

6,51

6,58

6,64

...

5,72

5,83

5,93

6,03

6,11

6,19

6,27

6,34

6,40

...

5,61

5,71

5,81

5,90

5,98

6,06

6,13

6,20

...

6,33

5,51

5,61

5,71

5,80

5,88

5,96

6,02

...

6,15

6,21

5,43

5,53

5,63

5,71

5,79

5,86

...

5,99

6,05

6,11

5,36

5,46

5,55

5,64

5,71

...

5,85

5,91

5,97

5,03

5,31

5,40

5,49

5,57

...

5,72

5,78

5,85

5,90

5,96

5,26

5,36

5,44

...

5,59

5,66

5,73

5,79

5,84

5,90

5,21

5,31

...

5,47

5,54

5,61

5,67

5,73

5,79

5,84

5,17

...

5,35

5,43

5,50

5,57

5,63

5,69

5,74

5,79

...

5,23

5,31

5,39

5,46

5,53

5,59

5,65

5,70

5,75

...

5,11

5,20

5,28

5,36

5,43

5,49

5,55

5,61

5,66

...

5,01

5,10

5,18

5,25

5,32

5,38

5,44

5,49

...

5,59

4,92

5,00

5,08

5,15

5,21

5,27

5,33

...

5,43

5,47

4,82

4,90

4,98

5,04

5,11

5,16

...

5,27

5,31

5,36

4,73

4,81

4,88

4,94

5,00

...

5,11

5,15

5,20

5,24

120

4,64

4,71

4,78

4,84

...

4,95

5,00

5,04

5,09

5,13

4,55

4,62

4,68

...

4,80

4,86

4,89

4,93

4,97

5,01

Bảng 6 (tiếp theo)

3) a = 0,01

n₄

...

90,03

135,0

164,3

185,6

202,2

215,8

227,2

237,0

245,6

...

14,04

19,02

22,29

24,72

26,63

28,20

29,53

30,68

31,69

...

8,26

10,62

12,17

13,33

14,24

15,00

15,64

16,20

16,69

...

6,51

8,12

9,17

9,96

10,58

11,10

11,55

11,93

12,27

...

5,70

6,98

7,80

8,42

8,91

9,32

9,67

9,97

10,24

...

5,24

6,33

7,03

7,56

7,97

8,32

8,61

8,87

9,10

...

4,95

5,92

6,54

7,01

7,37

7,68

7,94

8,17

8,37

...

4,75

5,64

6,20

6,62

6,96

7,24

7,47

7,68

8,86

...

4,60

5,43

5,96

6,35

6,66

6,91

7,13

7,33

7,49

...

4,48

5,27

5,77

6,14

6,43

6,67

6,87

7,05

7,21

...

4,39

5,15

5,62

5,97

6,25

6,48

6,67

6,84

7,99

...

4,32

5,05

5,50

5,84

6,10

6,32

6,51

6,67

6,81

...

4,26

4,96

5,40

5,73

5,98

6,19

6,37

6,53

6,67

...

4,21

4,89

5,32

5,63

5,88

6,08

6,26

6,41

6,54

...

4,17

4,84

5,25

5,56

5,80

5,99

6,16

6,31

6,44

...

4,13

4,79

5,19

5,49

5,72

5,92

6,08

6,22

6.35

...

4,10

4,74

5,14

5,43

5,66

5,85

6,01

6,15

6,27

...

4,07

4,70

5,09

5,38

5,60

5,79

5,94

6,08

6,20

...

4,05

4,67

5,05

5,33

5,55

5,73

5,89

6,02

6,14

...

4,02

4,64

5,02

5,29

5,51

5,69

5,84

5,97

6,09

...

3,96

4,55

4,91

5,17

5.37

5,54

5,69

5,81

5,92

...

3,89

4,45

4,80

5,05

5,24

5,40

5,54

5,65

5,76

...

3,82

4,37

4,70

4,93

5,11

5,26

5,39

5,50

5,60

...

3,76

4,28

4,59

4,82

4,99

5,13

5,25

5,36

5,45

...

3,70

4,20

4,50

4,71

4,87

5,01

5,12

5,21

5,30

...

3,64

4,12

4,40

4,60

4,76

4,88

4,99

5,08

5,16

...

3) a = 0,01

n₄

n₃

...

253,2

260,0

266,2

271,8

277,0

...

286,3

290,4

291,3

298,0

32,59

33,40

34,13

34,81

...

36,00

36,53

37,03

37,50

37,95

17,13

17,53

17,89

...

18,52

18,81

19,07

19,32

19,55

19,75

12,57

12,84

...

13,32

13,53

13,73

13,91

14,08

14,24

14,40

10,48

...

10,89

11,08

11,24

11,40

11,55

11,68

11,81

11,93

...

9,48

9,65

9,81

9,95

10,08

10,21

10,32

10,43

10,54

...

8,55

8,71

8,86

9,00

9,12

9,24

9,36

9,48

9,55

...

8,03

8,18

8,31

8,44

8,55

8,66

8,76

8,85

...

9,03

7,65

7,78

7,91

8,03

8,13

8,23

8,33

...

8,49

8,57

7,36

7,49

7,60

7,71

7,81

7,91

...

8,08

8,15

8,23

7,13

7,25

7,36

7,46

7,56

...

7,73

7,81

7,88

7,95

6,94

7,06

7,17

7,26

...

7,44

7,52

7,59

7,66

7,73

6,79

6,90

7,01

...

7,19

7,27

7,325

7,42

7,48

7,55

6,66

6,77

...

6,96

7,05

7,13

7,20

7,27

7,33

7,39

6,55

...

6,76

6,84

6,93

7,00

7,07

7,14

7,20

7,26

...

6,56

6,66

6,74

6,82

6,90

6,97

7,03

7,09

7,15

...

6,38

6,48

6,57

6,66

6,73

6,81

6,87

6,94

7,00

...

6,31

6,41

6,50

6,58

6,65

6,73

6,79

6,85

...

6,97

6,25

6,34

6,43

6,51

6,58

6,65

6,72

...

6,84

6,89

6,19

6,28

6,37

6,45

6,52

6,59

...

6,71

6,77

6,82

6,02

6,11

6,19

6,26

6,33

...

6,45

6,51

6,54

6,61

5,85

5,93

6,01

6,08

...

6,20

6,26

6,31

6,38

6,41

5,69

5,76

5,83

...

5,96

6,02

6,07

6,12

6,16

6,21

5,53

5,60

...

5,73

5,78

5,84

5,89

5,93

5,97

6,01

120

5,37

...

5,50

5,58

5,61

5,66

5,71

5,75

5,79

5,83

...

5,29

5,35

5,40

5,45

5,49

5,54

5,57

5,61

5,65

...

P {h ≤ h_a_,k (n₁, n₂, n₃)} = 1 - a

n₁

n₂

n₃

n₁

n₂

n₃

...

0,10

0,05

0,01

0,10

0,05

0,01

...

4,01

4,96

...

4,50

4,71

4,65

5,25

...

4,55

5,36

...

5,34

6,98

4,62

5,60

7,20

...

3,98

4,98

6,95

4,37

5,33

...

4,54

5,27

7,11

...

5,44

6,44

4,54

5,63

7,44

...

4,70

5,72

6,74

4,61

5,61

...

4,16

4,96

6,66

...

5,12

7,30

4,55

5,45

7,03

...

4,50

5,33

7,33

4,54

5,59

...

4,54

5,70

7,57

...

5,69

7,65

4,52

5,66

7,82

...

4,37

5,16

6,53

4,56

5,78

...

Bảng 8 - Phân vị của phân bố tổng hạng Kruskal - Wallis

...

y(a, K, 2)

y(a, K, 3)

y(a, K, 4)

...

y(a, K, 6)

.067

.064

...

.048

.049

.029

...

.031

0.11

...

.011

.009

.029

...

.043

.049

...

.023

.026

...

.012

...

.048

.060

.056

...

.016

.023

.033

...

.007

.010

...

.030

.055

...

.010

.024

...

.009

...

.056

...

.021

...

.026

...

.012

...

.041

.055

...

.005

.029

...

.010

...

.063

...

.031

...

.012

...

.050

...

.025

...

.009

...

.020

...

.008

...

.062

...

.020

...

.006

...

.052

...

.028

...

.014

...

.044

...

.012

...

.038

...

.010

...

Bảng 9 - Phân vị của phân bố độ rộng của K biến ngẫu nhiên độc lập có phân bố chuẩn N (0,1)

0,0001

0,0005

0,001

0,005

0,01

...

0,05

0,10

0,20

5,502

4,923

4,654

3,970

3,643

...

2,772

2,326

1,812

5,864

5,316

5,063

4,424

4,120

...

3,314

2,902

2,424

6,083

5,553

5,309

4,694

4,403

...

3,633

3,240

2,784

6,240

5,722

5,484

4,886

4,603

...

3,858

3,478

3,037

6,362

5,853

5,619

5,033

4,757

...

4,030

3,661

3,232

...

6,461

5,960

5,730

5,154

4,885

...

4,170

3,808

3,289

6,546

6,050

5,823

5,255

4,987

...

4,286

3,931

3,520

6,618

6,127

5,903

5,341

5,078

...

4,387

4,037

3,632

6,682

6,196

5,973

5,418

5,157

...

4,474

4,129

3,730

6,739

6,257

6,036

5,485

5,227

...

4,552

4,211

3,817

...

6,791

6,311

6,092

5,546

5,290

...

4,622

4,285

3,895

6,837

6,361

6,144

5,602

5,348

...

4,685

4,351

3,966

6,880

6,407

6,191

5,652

5,400

...

4,743

4,412

4,030

6,920

6,449

6,234

5,699

5,448

...

4,796

4,468

4,089

6,957

6,488

6,274

5,742

5,493

...

4,845

4,519

4,144

...

6,991

6,525

6,312

5,783

5,535

...

4,891

4,568

4,195

7,023

6,559

6,347

5,840

5,574

...

4,934

4,612

4,242

7,054

6,591

6,380

5,856

5,611

...

4,974

4,654

4,287

7,082

6,621

6,411

5,889

5,645

...

5,012

4,694

4,329

7,135

6,677

6,469

5,951

5,709

...

5,081

4,767

4,405

...

7,183

6,727

6,520

6,006

5,766

...

5,144

4,832

4,475

7,226

6,773

6,568

6,057

5,818

...

5,201

4,892

4,475

7,266

6,816

6,611

6,103

5,866

...

5,253

4,947

4,595

7,303

6,855

6,651

6,146

5,911

...

5,301

4,997

4,648

7,337

6,891

6,689

6,186

5,952

...

5,246

5,004

4,697

...

7,370

6,925

6,723

6,223

5,990

...

5,388

5,087

4,743

7,400

6,957

6,756

6,258

6,026

...

5,427

5,128

4,786

7,428

6,987

6,787

6,291

6,060

...

5,463

5,166

4,826

7,455

7,015

6,818

6,322

6,092

...

5,498

5,202

4,864

7,571

7,137

6,941

6,454

6,228

...

5,646

5,357

5,026

...

7,664

7,235

7,041

6,561

6,338

...

5,764

5,480

5,155

7,741

7,317

7,124

6,649

6,429

...

5,863

5,582

5,262

7,808

7,387

7,196

6,725

6,507

...

5,947

5,669

5,353

7,866

7,448

7,259

6,792

6,575

...

6,020

5,745

5,433

100

7,918

7,502

7,314

6,850

6,636

...

6,085

5,812

5,503

Bảng 10 - Phân vị của phân bố chuẩn N (0,1)

P {N (0, 1) ≤ U_p) = 1 - p

U_p

...

U_p

0,10

1,281 55

0,009

2,365 62

0,000 05

3,890 59

...

1,310 58

0,008

2,408 92

0,000 01

4,264 89

0,090

1,340 76

0,007

2,457 26

...

4,417 17

0,085

1,372 20

0,006

2,512 14

0,000 001

4,753 42

0,080

1,405 07

...

2,575 83

0,000 000 5

4,891 64

...

1,439 53

0,004

2,652 07

0,000 000 1

5,199 34

0,070

1,475 79

0,003

2,747 78

...

5,326 72

0,065

1,514 10

0,002

2,878 16

0,000 000 01

5,612 00

0,060

1,554 77

...

3,090 23

0,000 000 005

5,730 73

0,055

1,598 19

0,000 000 001

5,997 81

...

0,050

1,644 85

0,000 9

3,121 39

...

0,045

1,695 40

0,000 8

3,155 91

0,040

1,750 69

...

3,194 65

0,035

1,811 91

0,000 6

3,238 88

...

1,880 79

0,000 5

3,290 53

...

0,025

1,959 96

0,000 4

3,352 79

0,020

2,053 75

...

3,431 61

0,015

2,170 09

0,000 2

3,540 08

...

2,326 35

0,000 1

3,719 02

Phụ lục A

(quy định)

Sơ đồ chung của phân tích phương sai

...

Bài toán

Phương pháp

Cách giải quyết

A.1

Biểu diễn các số liệu để xử lý bằng các phương pháp phân tích phương sai (PTPS)

Viết các mẫu dưới dạng Bảng 1 hay Bảng 3

Nếu PTPS một nhân tố chuyển sang A.2, hai nhân tố chuyển sang A.4

A.2

Mô hình một nhân tố

...

A.2.1

Kiểm nghiệm tính chuẩn của phân bố của các số liệu

Dùng các quy tắc thống kê hay dùng đồ thị

Nếu phân bố là chuẩn chuyển sang A.3, nếu không chuyển sang A.5

A.3

PTPS tham số

...

Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai

Quy tắc Bartlett

Xem 3.1.2.1.1 nếu k > 2 hoặc xem 3.1.2.1.2 nếu k = 2

Nếu các phương sai là bằng nhau thì chuyển sang A.3.2, nếu không thì chuyển sang A.3.3

A.3.2

Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các trung bình

Dùng quy tắc Welch (3.1.2.2) cho trường hợp các phương sai bằng nhau

a) Nếu chấp nhận giả thuyết, các giá trị trung bình là như nhau với mọi tổng thể, kết thúc PTPS

b) Nếu bác bỏ giả thuyết, chuyển sang A.3.4.1

...

Giống 3.2

Quy tắc trong 3.1.2.2.2 để kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai

a) Giống như A.3.2 a) kết thúc PTPS

b) Nếu bác bỏ giả thuyết chuyển sang A.3.4.2

A.3.4

So sánh đồng thời

A.3.4.1

...

Quy tắc Student - Newman - Keuls (3.3.1)

Tách ra những nhóm tổng thể không khác nhau về giá trị trung bình, kết thúc PTPS

A.3.4.2

Các phương sai không bằng nhau

Quy tắc Dunnett

Giống như A.3.4.1 và kết thúc PTPS

A.4

Mô hình 2 nhân tố

...

A.4.1

Kiểm tra sự bằng nhau của số quan sát trong các mẫu

a) Nếu bằng nhau, chuyển sang A.4.2

b) Nếu không bằng nhau, phát biểu lại bài toán theo từ ngữ của phương pháp PTPS một nhân tố rồi chuyển sang A.2

A.4.2

Kiểm tra tính chuẩn của số liệu

Giống A.2.1

a) Nếu được thực hiện, chuyển sang A.4.3

...

A.4.3

Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các phương sai

Quy tắc Bartlett (3.1.2.1.1)

a) Nếu thực hiện, chuyển sang A.4.4

b) Nếu không, phát biểu bài toán thành mô hình một nhân tố, rồi chuyển sang A.3.3

A.4.4

Kiểm nghiệm giả thuyết về sự tương tác giữa hai nhân tố

Quy tắc trong 3.2.4.2

a) Nếu giả thuyết được xác nhận, phát biểu thành mô hình một nhân tố rồi chuyển sang A.3.4

...

A.4.5

Kiểm nghiệm giả thuyết về ảnh hưởng của các mức của từng nhân tố đến đại lượng cần nghiên cứu

Dùng các quy tắc trong 3.2.4.3 và 3.2.4.4

a) Nếu giả thuyết được xác nhận, chuyển sang A.3.4.1

b) Ngược lại, kết luận là các tổng thể không khác nhau một cách có ý nghĩa, kết thúc PTPS

A.5

PTPS phi tham số (chỉ xét mô hình một nhân tố)

...

Kiểm nghiệm sự bằng nhau của các phương sai

Quy tắc Brown - Forsythe (4.2.3.1)

a) Nếu các phương sai bằng nhau, chuyển sang A.5.2

b) Nếu không, không xử lý nữa, kết thúc PTPS

A.5.2

Kiểm nghiệm giả thuyết về sự bằng nhau của các trung bình của đại lượng nghiên cứu

Quy tắc Kruskal - Wallis (4.2.3.2)

a) Giống như A.3.2 a), kết thúc PTPS

b) Nếu giả thuyết không đúng, chuyển sang A.5.3

...

So sánh đồng thời

Phương pháp Kruskal - Wallis để so sánh đồng thời và cách xấp xỉ nó (xem 4.3.1 và 4.3.2)

Giống như A.3.4.1 và kết thúc PTPS

Phụ lục B

(tham khảo)

Các ví dụ

B.1 Ví dụ 1 (Minh họa 3.1.2.1)

Để thử độ biến dạng của vật liệu tổng hợp do 3 nơi sản xuất, ở mỗi nơi người ta lấy một mẫu ngẫu nhiên và đo lực tới hạn biến dạng. Các kết quả đo được cho trong Bảng B.1. Với giả thuyết các lực tới hạn biến dạng có phân bố chuẩn, hãy kiểm nghiệm có sự sai khác có ý nghĩa giữa 3 nơi sản xuất theo chỉ tiêu trên hay không.

...

Mẫu 1

Mẫu 2

Mẫu 3

10,2

12,2

9,2

8,2

10,6

10,5

...

9,9

9,2

8,0

13,0

8,7

8,3

8,1

9,0

8,0

...

11,5

Tổng 51,6

76,1

46,6

Trước hết, dùng quy tắc Bartlett để kiểm nghiệm các số liệu trong Bảng B.1 có thỏa mãn giả thuyết về sự bằng nhau của phương sai hay không? Lấy mức ý nghĩa a = 0,05.

Từ Bảng B.1, tính tổng và các giá trị trung bình:

...

; n₂ = 7;

; n₃ = 5;

Tính các phương sai mẫu:

Sau đó tính:

...

Vì nên không đủ cơ sở để bác bỏ giả thuyết các phương sai là bằng nhau.

B.2 Ví dụ 2 (Minh họa 3.1.2.1)

Để so sánh độ bền của các ống dẫn nước do 3 hãng sản xuất, ở mỗi hạng chọn ngẫu nhiên một số ống và đo áp suất tới hạn đủ làm gãy ống. Các giá trị được cho trong Bảng B.2 và giả thuyết là chúng có phân bố chuẩn.

Vấn đề đặt ra là giữa các sản phẩm của 3 hãng có sự khác biệt đáng kể hay không.

Bảng B.2 - Áp suất tới hạn

Mẫu 1

Mẫu 2

Mẫu 3

6,993 620

...

21,362 76

6,998 000

14,028 77

23,899 47

6,922 900

13,671 90

27,936 14

6,972 105

15,406 15

...

7,002 345

17,306 43

23,908 01

6,652 691

18,316 31

27,157 76

7,025 300

15,406 15

18,789 11

...

14,916 13

24,689 78

7,029 745

13,671 90

18,681 27

7,045 260

15,406 15

21,044 89

Tổng

...

69,685

151,159 82

244,780 72

Từ Bảng B.2, trước hết ta tính tổng và các giá trị trung bình:

; n₁ = 10;

; n₂ = 10;

; n₃ = 10;

Dùng công thức sau để tính các phương sai mẫu:

...

ta được = 0,033 7; = 2,781 9; = 22,658 9.

Sau đó, tính c² = 56,000 5.

Với a = 0,05, ta có:

Điều này chứng tỏ các phương sai là không bằng nhau. Vì vậy cần ứng dụng phương pháp phân tích phương sai trong trường hợp các phương sai là không bằng nhau.

B.3 Ví dụ 3 (Minh họa 3.1.2.2.2)

Ứng dụng phương pháp phân tích phương sai một nhân tố với các số liệu ở Bảng B.2 (các phương sai không bằng nhau).

Mức ý nghĩa a = 0,05.

Dùng một số kết quả đã tính trong ví dụ 2:

...

n₁ = n₂ = n₃ = 10

Đặt , ta có:

W₁ = 296,735 9, W₂ = 3,594 7, W₃ = 0,441 3

Do đó:

Theo công thức:

tính được = 175,084 85. Hơn nữa:

...

tức là: [¦] = 11.

Với a = 0,05, n₁ = k - 1 = 2, n₂ = [¦] - 1 = 10, ta có F₀_,₉₅ (2,10) = 9,43.

Vì W = 175,084 85 > 9,43 suy ra các trung bình khác nhau một cách có ý nghĩa tức là giả thuyết H₀ bị bác bỏ.

Để tách ra những nhóm thuần nhất về giá trị trung bình cần ứng dụng quy tắc Dunnett (xem 3.3.2).

Với a = 0,05, k = 3, n_i = 10, (i = 1, 2, 3) nhờ Bảng 6 ta tìm phân vị R (0,05; 3; 9) = 3,95 và nhờ công thức (44) ta tính:

Theo công thức (45) ta tính được giới hạn của các khoảng tin cậy sau:

Từ đó suy ra mọi cặp các trung bình đều khác nhau.

...

Một người sản xuất quan tâm đến giới hạn bền của loại sợi tổng hợp dùng để dệt vải may áo sơ mi nam. Giới hạn bền phụ thuộc vào tỷ lệ % bông trong sợi với 5 mức sau:

15 %, 20 %, 25 %, 30 % và 35 %.

Với mỗi mức, tiến hành 5 quan sát và ta có tất cả quan sát xếp theo một thứ tự ngẫu nhiên.

Bảng B.3 cho độ bền khi kéo sợi tổng hợp.

Cho a = 0,01, n₁ = 4, n₂ = 20, tra được F₀_,99 (4,20) = 4,43

Vì F = 14,76 > F₀_,₉₉ (4,20) = 4,43 nên bác bỏ giả thuyết H₀: m₁ = m₂= m₃ = m₄= m₅

tức là tỷ lệ phần trăm của bông có ảnh hưởng rõ đến giới hạn bền của vải. Ta cần chuyển sang so sánh đồng thời các trung bình (ví dụ 5).

B.5 Ví dụ 5 (Minh họa 3.3.1)

Ứng dụng phương pháp so sánh đồng thời đối với các số liệu của ví dụ 4.

...

MS_dư = 8,06; n = 5; n₄ = N - k = 25 - 5 = 20.

Xếp các trung bình theo thứ tự tăng, ta có:

; ; ; ;

Đánh số lại các tổng thể theo thứ tự sau:

1 ® (1), 5 ® (2), 2 ® (3), 3 ® (4), 4 ® (5)

Tính

Từ Bảng 6 với n₄ = 20, n₃ = 2, 3, 4, 5 và a = 0,05 tra được các giá trị tới hạn:

R (0,05; 2,20) = 3,49

R (0,05; 3,20) = 3,10

...

R (0,05; 5,20) = 2,71

Tính các thống kê và so sánh chúng với các giá trị tới hạn tương ứng.

SR (5,2) = 8,5 > 2,87

SR (5,3) = 4,88 > 3,10

SR (5,4) = 3,14 > 3,49

SR (4,1) = 6,14 > 2,87

SR (4,2) = 5,35 > 3,10

SR (4,3)= 1,73 > 3,49

...

SR (2,1) = 0,78 > 3,49

Do đó, các mẫu có các chỉ số (5) và (4), (3) và (4), (1) và (2) là những nhóm không khác nhau. Từ đó có thể kết luận giới hạn bền khi kéo sợi tổng hợp với tỷ lệ bông 15 % và 35 % là như nhau, tương tự cho các nhóm có tỷ lệ 20 % và 25 % và các nhóm 25 % và 30 %.

Các nhóm 30 % và 20 % nếu xét riêng không khác nhóm 25 %, nhưng chúng lại khác nhau, tức là xảy ra trường hợp các nhóm giao nhau.

Tóm lại, ta có thể chia các mức thành 3 nhóm không giao nhau như sau: 35 % và 15 %, 20 %, 25 % và 30 %.

B.6 Ví dụ 6 (Minh họa 3.2.4.2)

Phân tích phương sai hai nhân tố

Giả sử vật liệu của bản cực và nhiệt độ dung dịch có ảnh hưởng đến cường độ dòng điện của ắcquy.

Giả sử có 3 loại vật liệu và 3 chế độ nhiệt độ. Một số vấn đề được đặt ra như sau:

Loại vật liệu có ảnh hưởng đến cường độ?

...

Bảng B.3

A₁ = 15 %

A₂ = 20 %

A₃ = 25 %

A₄ = 30 %

A₅ = 35 %

...

y_i

...

108

9,8

15,4

17,6

21,6

10,8

...

SS_dư =

Kiểm tra:

SS_dư = SS - SS_A = 639,96 - 475,76 = 164,20

Bảng B.4

Nguồn biến động

Tổng bình phương

Bậc tự do

...

Tỷ số F

475,76

118,94

14,76

Sai số đo

164,20

...

Chung

639,96

Giữa vật liệu và nhiệt độ có sự tương tác hay không?

Thứ tự tiến hành 36 quan sát là ngẫu nhiên.

Bảng B.5 đưa ra các giá trị của cường độ.

...

Loại vật liệu

Nhiệt độ, °C

Y_i…

130

155

...

180

...

539

...

229

230

998

150

188

...

122

159

126

...

115

623

...

479

198

1 300

138

110

...

120

104

168

160

...

139

576

...

573

342

1 501

y_.j_.

1 738

...

1 291

770

y… = 3 799

Tính:

...

SS_dư =

SS_AxB = SS_C - SS_A - SS_B - SS_dư = 9 613,77

Các kết quả tính toán được lập thành Bảng B.6

Bảng B.6

Nguồn biến động

Tổng bình phương

Bậc tự do

Trung bình bình phương

Tỷ số F

...

10 683,72

5 341,66

7,91

B (nhiệt độ)

39 118,72

19 558,36

28,97

...

9 613,77

2 403,44

3,56

Sai số

18 230,50

675,21

...

77 646,96

Kiểm nghiệm:

H_0,A_x_B : (ab)_ij = 0 với i = 1, …, k; j = 1, ..., m

Với a = 0,05, n₁ = 4, n₂ = 27, tra bảng ta có F_0,95 (4, 27) = 2,73.

Vì F_Ax_B = 3,56 > F_0,₉₅ (4, 27) = 2,73 nên có thể kết luận sự tương tác giữa vật liệu và nhiệt độ là có ý nghĩa.

Với mọi k x m các trung bình, ta có thể thực hiện việc so sánh đồng thời (3.3).

...

Phân tích phương sai phi tham số

Bảng B.7 cho các số liệu để đánh giá mức độ hiệu quả để bảo vệ niêm mạc trong mũi ở những người khỏe, người mắc bệnh cấp tính về hô hấp, người mắc bệnh nghề nghiệp về hô hấp. Các số liệu trong bảng biểu diễn thời gian để niêm mạc trong mũi có thể giải phóng một nửa số bụi rơi vào. Các số liệu không tuân theo phân bố chuẩn.

Ta cần xác định xem có sự sai khác có ý nghĩa giữa nhóm bệnh nhân về thời gian cho trong Bảng B.7.

Đầu tiên dùng quy tắc Brown - Forsythe để kiểm tra sự bằng nhau của phương sai (xem 4.2.3.1).

Ở đây: k = 3, n₁ = 5, n₂ = 4, n₃ = 5.

Bảng B.7

2,9

3,8

2,8

...