Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 4552:2009 về Thống kê ứng dụng - Ước lượng, khoảng tin cậy và kiểm nghiệm giả thuyết

• Số hiệu: TCVN4552:2009
• Loại văn bản: Tiêu chuẩn Việt Nam
• Nơi ban hành: ***
• Người ký: ***
• Ngày ban hành: Năm 2009

TIÊU CHUẨN QUỐC GIA

TCVN 4552 : 2009

THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – ƯỚC LƯỢNG, KHOẢNG TIN CẬY VÀ KIỂM NGHIỆM GIẢ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC THAM SỐ CỦA PHÂN BỐ CHUẨN

Applied statistics – Estimation, confidence interval and testing of hypothesis for parameters of normal distribution

Lời nói đầu

TCVN 4552 : 2009 thay thế cho TCVN 4552-1988;

TCVN 4552 : 2009 do Ban kỹ thuật tiêu chuẩn quốc gia TCVN/TC 69 Ứng dụng các phương pháp thống kê biên soạn, Tổng cục Tiêu chuẩn đo lường Chất lượng đề nghị, Bộ Khoa học và Công nghệ công bố.

THỐNG KÊ ỨNG DỤNG – ƯỚC LƯỢNG, KHOẢNG TIN CẬY VÀ KIỂM NGHIỆM GIẢ THUYẾT ĐỐI VỚI CÁC THAM SỐ CỦA PHÂN BỐ CHUẨN

...

...

...

1. Phạm vi áp dụng

Tiêu chuẩn này quy định các phương pháp ước lượng xác định khoảng tin cậy và kiểm nghiệm giả thuyết liên quan tới trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn của tổng thể có phân bố chuẩn.

Các phương pháp trong tiêu chuẩn này được áp dụng nếu các cá thể của mẫu được chọn một cách ngẫu nhiên và độc lập từ tổng thể; trường hợp liên quan tới hai tổng thể (so sánh hai trung bình, hai phương sai) đòi hỏi thêm các mẫu phải độc lập.

2. Thuật ngữ và định nghĩa

Tiêu chuẩn này sử dụng các thuật ngữ và định nghĩa trong TCVN 8244 (ISO 3534), Thống kê học – Từ vựng và ký hiệu.

3. Ước lượng trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn

3.1. Ước lượng trung bình

3.1.1. Ước lượng không chệch của trung bình tổng thể m là giá trị trung bình mẫu  tính theo công thức:

                                           (3-1)

...

...

...

x_i là giá trị quan trắc được trên cá thể thứ i (i = 1,2, ... , n).

3.1.2. Khi n lớn (n ≥ 50) có thể đơn giản hóa việc tính  bằng cách phân giá trị quan trắc vào k khoảng có độ rộng bằng nhau.

Ký hiệu n_i và z_i lần lượt là số các giá trị quan trắc và điểm giữa của khoảng i (i = 1, 2, ..., k). Khi đó trung bình mẫu  được tính như sau:

                                                                (3-2)

Để tránh mắc phải sai số lớn đồng thời hạn chế được khối lượng tính toán khi xấp xỉ  theo công thức (3-2), chọn k thỏa mãn 7 ≤ k ≤ 20.

3.1.3. Nếu các giá trị quan trắc lớn, có thể giảm nhẹ việc tính toán  bằng cách chọn hợp lý một số a gần m làm gốc tọa độ mới. Khi đó thay cho công thức (3-1) sử dụng công thức sau:

(3-3)

3.1.4. Phương pháp phân khoảng mô tả trong 3.1.2 và phương pháp đổi gốc tọa độ mô tả trong 3.1.3 có thể sử dụng kết hợp nếu thấy hợp lý. Trong trường hợp này chọn a là điểm giữa của một khoảng nào đó. Gọi h là độ rộng chung của các khoảng, khi đó trung bình mẫu được tính theo công thức:

                                                                      (3-4)

...

...

...

                                                   (3-5)

và

                                                          (3-6)

3.2. Ước lượng phương sai và độ lệch chuẩn

3.2.1. Ước lượng không chệch của phương sai tổng thể s^2 là phương sai mẫu s^2 tính theo công thức:

                                        (3-7)

trong đó  được tính như trong 3.1.

để tính s^2 một cách dễ dàng hơn, sử dụng công thức:

                                        (3-8)

...

...

...

                                              (3-9)

Ở đây cũng đòi hỏi 7 ≤ k ≤ 20.

3.2.3. Nếu các giá trị quan trắc lớn cũng có thể giảm nhẹ việc tính s^2 bằng phương pháp đổi gốc tọa độ như đã mô tả trong 3.1.3, khi đó thay cho (3-7), sử dụng công thức:

                                  (3-10)

3.2.4. Nếu sử dụng kết hợp cả hai phương pháp phân khoảng và đổi gốc tọa độ thì s^2 được tính theo công thức:

                                                         (3-11)

trong đó

                                             (3-12)

và các giá trị u_i, (i = 1, 2, ..., k) được tính theo công thức (3-6).

...

...

...

s = +                                                (3-13)

trong đó s^2 là phương sai mẫu và được tính như trong 3.2.1 và 3.2.3.

Muốn có ước lượng không chệch của s, sử dụng công thức:

= M (v) s                                                                    (3-14)

trong đó M(v) là hệ số hiệu chỉnh phụ thuộc vào v và được cho trong Bảng B.1 với v = n – 1.

4. Xác định khoảng tin cậy trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn

4.1. Xác định khoảng tin cậy trung bình khi đã biết phương sai

Trong trường hợp đã biết phương sai tổng thể s^2, để xác định khoảng tin cậy một phía hoặc hai phía của trung bình tổng thể m, trước hết tính trung bình mẫu  như trong 3.1 và độ lệch chuẩn tổng thể s:

...

...

...

                                               (4-1)

trong đó u_1-a là (1 – a) phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Giá trị u_1-a / được cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

4.1.2. Giới hạn trên m_T của khoảng tin cậy một phía dạng (–¥, m_T) với mức tin cậy 1 – a được xác định bởi các công thức sau:

                                               (4-2)

trong đó u_1-a là (1 – a) phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Giá trị u_1-a /  được cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

4.1.3. Giới hạn dưới m_D và giới hạn trên m_T của khoảng tin cậy hai phía (m_D, m_T) với mức tin cậy 1 – a được xác định bởi các công thức sau:

                                                             (4-3)

                                                             (4-4)

trong đó  là  phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Giá trị  / cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

...

...

...

Trong trường hợp chưa biết phương sai tổng thể, để xác định khoảng tin cậy một phía hoặc hai phía của trung bình tổng thể, trước hết tính trung bình mẫu  như trong 3.1 và độ lệch chuẩn s như trong 3.2.

4.2.1. Giới hạn dưới m_D của khoảng tin cậy một phía dạng (m_D, +¥) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức:

                                              (4-5)

trong đó t_1-a (v) là (1 – a) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với v = n – 1 bậc tự do. Giá trị t_1-a (v) /  cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

4.2.2. Giới hạn trên m_T của khoảng tin cậy một phía dạng (–¥, m_T) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức:

                                  (4-6)

trong đó t_1-a (v) là (1 – a) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với v = n – 1 bậc tự do. Giá trị t_1-a (v) /  cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

4.2.3. Giới hạn dưới m_D và giới hạn trên m_T của khoảng tin cậy hai phía (m_D, m_T), với mức tin cậy 1– a được xác định bởi các công thức:

                                              (4-7)

...

...

...

trong đó (v) là - phân vị của phân bố t với v = n – 1 bậc tự do. Giá trị (v) / cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

4.3. Khoảng tin cậy của phương sai và độ lệch chuẩn tổng thể

Để xác định khoảng tin cậy một phía hoặc hai phía của phương sai tổng thể s^2, trước hết tính:

– Trung bình mẫu  như trong 3.1.

– Tính tổng các bình phương độ lệch của mỗi giá trị quan trắc x_i so với trung bình mẫu :

4.3.1. Giới hạn dưới của khoảng tin cậy một phía dạng (, +¥) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức:

                                              (4-9)

trong đó là (1 – a) – phân vị của phân bố c^2 với v = n – 1 bậc tự do và được cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

4.3.2. Giới hạn trên của khoảng tin cậy một phía dạng (–¥, ) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức:

...

...

...

trong đó  là a – phân vị của phân bố c^2 với v = n – 1 bậc tự do và được cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

4.3.3. Giới hạn dưới  và giới hạn trên của khoảng tin cậy hai phía dạng (, ) với mức tin cậy 1 – a được xác định theo công thức sau:

                                              (4-11)

                                              (4-12)

trong đó  (v) và (v) lần lượt là – phân vị và - phân vị của phân bố c^2 với v = n – 1 bậc tự do. Các giá trị  (v) và  được cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

4.3.4. Các giới hạn của khoảng tin cậy một phía và hai phía của độ lệch chuẩn tổng thể s bằng căn bậc hai giới hạn của khoảng tin cậy tương ứng của phương sai tổng thể s^2 xác định như trong các mục từ 4.3.1 đến 4.3.3.

5. Kiểm nghiệm giả thuyết về trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn

5.1. So sánh trung bình tổng thể m với một giá trị m_o cho trước

5.1.1. Trường hợp đã biết phương sai tổng thể s^2

...

...

...

H_o: m ≥ m_o

So với đối thuyết

H₁: m < m_o

với mức ý nghĩa a như sau:

– Xác định trung bình mẫu  như trong 3.1.

– Tính giá trị biểu thức:

trong đó u_1-a là (1 - a) – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Nếu

...

...

...

Giá trị u_1-a /  được cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.1.1.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết

H_o: m ≤ m_o

So với đối thuyết

H₁: m > m_o

và mức ý nghĩa a như sau:

– Xác định trung bình mẫu .

– Tính giá trị biểu thức:

...

...

...

Nếu

thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị u_1-a /  n được cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.1.1.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết

H_o: m = m_o

So với đối thuyết

H₁: m ¹ m_o

và mức ý nghĩa a như sau:

...

...

...

– Tính giá trị các biểu thức:

trong đó là  – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa. Nếu

thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị cho trong Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.1.2. Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể

5.1.2.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết

H_o: m ≥ m_o

...

...

...

H₁: m < m_o

với mức ý nghĩa a là như sau:

– Xác định trung bình mẫu  như trong 3.1.

– Xác định độ lệch chuẩn mẫu s như trong 3.2.

– Tính giá trị biểu thức:

trong đó t_1-a (v) là giá trị (1 - a) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với bậc tự do v = n - 1.

Nếu

...

...

...

Giá trị được cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.1.2.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết

H_o: m ≤ m_o

So với đối thuyết

H₁: m > m_o

với mức ý nghĩa a như sau:

– Xác định trung bình mẫu .

– Xác định độ lệch chuẩn mẫu s.

– Tính giá trị biểu thức:

...

...

...

trong đó t_1-a (v) là giá trị (1 - a) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với bậc tự do v = n - 1.

Nếu

thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị được cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.1.2.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết

H_o: m = m_o

So với đối thuyết

H₁: m ¹ m_o

...

...

...

– Xác định trung bình mẫu .

– Xác định độ lệch chuẩn mẫu s.

– Tính giá trị biểu thức:

trong đó là  – phân vị của phân bố t với bậc tự do v = n - 1. Nếu

thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị cho trong Bảng B.4, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.2. So sánh hai trung bình của hai tổng thể

...

...

...

n_i – cỡ mẫu lấy từ tổng thể thứ i, (i = 1, 2);

m_i – trung bình của tổng thể thứ i, (i = 1, 2);

s_i – độ lệch chuẩn của tổng thể thứ i, (i = 1, 2);

x_ij – giá trị quan trắc thứ j trên mẫu lấy từ tổng thể thứ i, (i = 1, 2; j = 1, 2, ..., n_i).

5.2.1. Trường hợp đã biết hai phương sai của hai tổng thể

5.2.1.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ ≥ m₂

với đối thuyết:

H₁: m₁ < m₂

...

...

...

– Xác định hai trung bình mẫu và:

– Tính đại lượng:

– Tính giá trị biểu thức

- u_1-as_d

trong đó: u_1-a là (1 - a) – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa.

Nếu -- u_1-a x s_d, thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị u_1-a cho trong dòng 1 Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

...

...

...

H_o: m₁ ≤ m₂

so với đối thuyết:

H₁: m₁ > m₂

và mức ý nghĩa a như sau:

– Xác định hai trung bình mẫu , và đại lượng s_d như trong điều kiện 5.2.1.1.

– Tính giá trị biểu thức:

= u_1-as_d,

trong đó: u_1-a là (1-a) – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa.

Nếu >- u_1-a x s_d, thì bác bỏ giả thuyết H_o.

...

...

...

5.2.1.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ = m₂

so với đối thuyết:

H₁: m₁ ¹ m₂

và mức ý nghĩa a như sau:

– Xác định hai trung bình mẫu , và đại lượng s_d như trong 5.2.1.1.

– Tính giá trị các biểu thức:

trong đó: là – phân vị của phân bố chuẩn chuẩn hóa.

...

...

...

Giá trị cho trong dòng 1 Bảng B.2, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.2.2. Trường hợp hai phương sai của hai tổng thể chưa biết nhưng có thể giả thuyết là bằng nhau

5.2.2.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ ≥ m₂

so với đối thuyết:

H₁: m₁ < m₂

và mức ý nghĩa a như sau:

– Xác định hai trung bình mẫu và

                i = 1, 2;

...

...

...

– Tính giá trị biểu thức:

trong đó: t_1-a (v) là giá trị (1 - a) – phân vị của phân bố t (phân bố Student) với bậc tự do v = n₁ + n₂ - 2.

Nếu <- t_1-a (v)s_d, thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị t_1-a (v) cho trong Bảng B.3, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.2.2.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ ≤ m₂

so với đối thuyết:

...

...

...

với mức ý nghĩa a như sau:

– Xác định hai trung bình mẫu  vàvà đại lượng s_d như trong 5.2.2.1.

– Tính giá trị biểu thức:

+ t_1-a (v)s_d

trong đó: t_1-a (v) là (1 - a) – phân vị của phân bố t với bậc tự do v = n₁ + n₂ - 2.

Nếu >- t_1-a (v)s_d, thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị t_1-a (v) cho trong Bảng B.3, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.2.2.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ = m₂

...

...

...

H₁: m₁ ¹ m₂

với mức ý nghĩa a như sau:

– Xác định hai trung bình mẫu  vàvà đại lượng s_d như trong 5.2.2.1.

– Tính giá trị biểu thức:

trong đó: (v) – phân vị của phân bố t với bậc tự do v = n₁ + n₂ - 2

Nếu , thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị cho trong Bảng B.3, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.3. So sánh phương sai tổng thể s^2 (hay độ lệch chuẩn tổng thể s) với giá trị (s) đã cho

...

...

...

H_o: s^2 ≥ (hay s ≥ s_o)

so với đối thuyết:

H₁: s^2 < (hay s < s_o)

với mức ý nghĩa a như sau:

– Tính trung bình mẫu  như trong 3.1.

– Tính đại lượng:

– Xác định giá trị (v) là a - phân vị của phân bố c^2 (v) với bậc tự do v = n -1.

Nếu , thì bác bỏ giả thuyết H_o.

...

...

...

5.3.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: s^2 ≤ (hay s ≤ s_o)

so với đối thuyết:

H₁: s^2 > (hay s > s_o)

với mức ý nghĩa a như sau:

– Tính trung bình mẫu  và đại lượng:

như trong 5.3.1.

– Xác định giá trị (v) là (1 - a) - phân vị của phân bố c^2 (v) với bậc tự do v = n -1.

...

...

...

Giá trị (v) cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.3.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: s^2 = (hay s = s_o)

so với đối thuyết:

H₁: s^2 ¹ (hay s ¹ s_o)

với mức ý nghĩa a như sau:

– Tính trung bình mẫu và đại lượng:

như trong 5.3.1.

...

...

...

Nếu hoặc  thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị (v) và (v) cho trong Bảng B.5, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.4. So sánh hai phương sai hay hai độ lệch chuẩn của tổng thể

Sử dụng các ký hiệu như trong 5.2.

5.4.1. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: (hay s₁ ≥ s₂)

so với đối thuyết:

H_o: (hay s₁ < s₂)

với mức ý nghĩa a như sau:

...

...

...

,                                     (i = 1, 2)

– Tính đại lượng:

1/ F_1-a (v₂, v₁)

trong đó F_1-a (v₂, v₁) là (1 – a) – phân vị của phân bố F(v₂, v₁)  với  v₂ = n₂ -1 và v₁ = n₁ -1 bậc tự do.

Nếu  thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị cho trong Bảng B.6, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.4.2. Quy tắc một phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: (hay s₁ ≤ s₂)

so với đối thuyết:

...

...

...

với mức ý nghĩa a như sau:

– Tính phương sai của mỗi mẫu như trong 5.4.1.

- Xác định giá trị F_1-a (v₁, v₂) là (1 – a) – phân vị của phân bố F(v₂, v₁)  với  v₁ = n₁ -1 và v₂ = n₂ -1 bậc tự do.

Nếu  thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Giá trị cho trong Bảng B.6, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

5.4.3. Quy tắc hai phía để kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: (hay s₁ = s₂)

so với đối thuyết:

H_o: (hay s₁ ¹ s₂)

...

...

...

– Tính hai phương sai của hai mẫu như trong 5.4.1:

Xác định giá trị  (v₂, v₁) là  – phân vị của phân bố F(v₂, v₁)  với  v₁ = n₁ -1 và v₂ = n₂ -1 bậc tự do.

Xác định giá trị  (v₁, v₂) là  – phân vị của phân bố F(v₁, v₂)  với  v₂ = n₂ -1 và v₁ = n₂ -1 bậc tự do.

Nếu  hoặc  thì bác bỏ giả thuyết H_o.

Các giá trị  và cho trong Bảng B.6, Phụ lục B với a = 0,05 và a = 0,01.

6. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu trong kiểm nghiệm giả thuyết

Khi áp dụng một quy tắc kiểm nghiệm giả thuyết nào đó mô tả trong điều 5, đã chọn trước mức ý nghĩa a, tức là đã ấn định trước giá trị cực đại của xác suất mắc sai lầm loại một. Vấn đề có ý nghĩa thực tiễn là cần biết thông tin về xác suất mắc sai lầm loại hai.

Sai lầm loại hai phụ thuộc vào mức ý nghĩa đã chọn, đối thuyết cụ thể nào đúng khi giả thuyết H_o sai, cỡ mẫu và vào thể loại của quy tắc (một phía hay hai phía). đối thuyết cụ thể là một giá trị cụ thể thuộc miền đối thuyết.

Đường đặc trưng của một phép kiểm nghiệm giả thuyết là đồ thị biểu diễn sai lầm loại hai theo tham số biểu thị đối thuyết cụ thể. Nó cho phép giải các bài toán sau:

...

...

...

b) Với mức ý nghĩa a, đối thuyết cụ thể và sai lầm loại hai b đã cho, cần xác định cỡ mẫu phải lấy.

Điều 6 này quy định việc sử dụng các tập đường đặc trưng của phép kiểm nghiệm giả thuyết trình bày trong điều 5 với các mức ý nghĩa a = 0,05 và a = 0,01 (là hai mức ý nghĩa phổ dụng), để giải hai bài toán a) và b) nói trên. Nguyên tắc chung ở đây là:

– Xác định giá trị tham số biểu thị đối thuyết cụ thể.

– Tra tập đường đặc trưng thích hợp để xác định sai lầm loại hai hay cỡ mẫu cần lấy.

6.1. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu khi so sánh trung bình với một giá trị đã cho

6.1.1 Trường hợp đã biết phương sai tổng thể

6.1.1.1. Giải bài toán a): Xác định sai lầm loại hai b

6.1.1.1.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m ≥ m_o

...

...

...

H₁: m < m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.1 nếu a = 0,05,

– tập 2.1 nếu a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥.

6.1.1.1.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m ≤ m_o

...

...

...

H₁: m > m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.1 nếu a = 0,05,

– tập 2.1 nếu a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥.

6.1.1.1.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m = m_o

...

...

...

H₁: m < m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 3.1 nếu a = 0,05,

– tập 4.1 nếu a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥.

6.1.1.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu n

6.1.1.2.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

...

...

...

với đối thuyết:

H₁: m < m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.2 nếu a = 0,05,

– tập 2.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho.

6.1.1.2.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

...

...

...

với đối thuyết:

H₁: m > m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.2 nếu a = 0,05,

– tập 2.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho.

6.1.1.2.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

...

...

...

với đối thuyết:

H₁: m ¹ m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 3.2 nếu a = 0,05,

– tập 4.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho.

6.1.2. Trường hợp chưa biết phương sai tổng thể

...

...

...

6.1.2.1. Giải bài toán a): Xác định sai lầm loại hai b

6.1.2.1.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m ≥ m_o

với đối thuyết:

H₁: m < m_o

thì đối thuyết cụ thể (ứng với giá trị cụ thể m trong miền đối thuyết) được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.1 nếu a = 0,05,

...

...

...

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n - 1.

6.1.2.1.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m ≤ m_o

với đối thuyết:

H₁: m > m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.1 nếu a = 0,05,

...

...

...

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n - 1.

6.1.2.1.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m = m_o

với đối thuyết:

H₁: m ¹ m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 3.1 nếu a = 0,05,

...

...

...

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n - 1.

6.1.2.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu n

6.1.2.2.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m ≥ m_o

với đối thuyết:

H₁: m < m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

...

...

...

– tập 2.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b cho trước.

6.1.2.2.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m ≤ m_o

với đối thuyết:

H₁: m > m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

...

...

...

– tập 2.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b cho trước.

6.1.2.2.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m = m_o

với đối thuyết:

H₁: m ¹ m_o

thì đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

...

...

...

– tập 4.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho

6.2. Xác định sai lầm và cỡ mẫu khi so sánh hai trung bình

Sử dụng các ký hiệu như trong 5.2.

6.2.1. Trường hợp đã biết hai phương sai

Gọi s_d là độ lệch chuẩn của hiệu hai trung bình hai mẫu:

6.2.1.1. Giải bài toán a): Xác định sai lầm loại hai b

6.2.1.1.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

...

...

...

so với đối thuyết:

H₁: m₁ < m₂

đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.1 nếu a = 0,05,

– tập 2.1 nếu a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥

6.2.1.1.2 Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

...

...

...

so với đối thuyết:

H₁: m₁ > m₂

đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.1 nếu a = 0,05,

– tập 2.1 nếu a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥

6.2.1.1.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

...

...

...

so với đối thuyết:

H₁: m₁ ¹ m₂

đối thuyết cụ thể được biểu thị bởi tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 3.1 nếu a = 0,05,

– tập 4.1 nếu a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = ¥

6.2.1.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu n₁ và n₂

...

...

...

H_o: m₁ ≥ m₂

so với đối thuyết:

H₁: m₁ < m₂

thì cỡ mẫu kinh tế nhất (tức n₁ + n₂ cực tiểu) được tính như sau:

trong đó l là hoành độ của điểm có tung độ b trên đường v = ¥ thuộc tập 1.1 khi a = 0,05 và thuộc tập 2.1 khi a = 0,01.

Trường hợp s₁ = s₂ = s dẫn đến n₁ = n₂ = n, và n có thể được xác định một cách thích hợp hơn như sau:

Xác định đối thuyết cụ thể bằng tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

...

...

...

– 1.2 nếu a = 0,05,

– 2.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho.

6.2.1.2.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ ≤ m₂

so với đối thuyết:

H₁: m₁ > m₂

thì cỡ mẫu kinh tế nhất n₁ và n₂ cũng được tính như trong 6.2.1.2.1:

Nếu s₁ = s₂ = s dẫn đến n₁ = n₂ = n, và n chung cũng được xác định như trong 6.2.1.2.1 nhưng với giá trị tham số l tính theo công thức:

...

...

...

6.2.1.2.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ = m₂

so với đối thuyết:

H₁: m₁ ¹ m₂

thì cỡ mẫu kinh tế nhất n₁ và n₂ cũng được tính như trong 6.2.1.2.1:

Nếu s₁ = s₂ = s dẫn đến n₁ = n₂ = n, cỡ mẫu chung n được xác định như sau:

– Xác định đối thuyết cụ thể bằng tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

– Tra tập đường:

...

...

...

+ 4.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường gián đoạn ứng với giá trị b đã cho.

6.2.2. Trường hợp chưa biết hai phương sai nhưng có thể giả thuyết chúng bằng nhau

Thay phương sai chung của hai tổng thể bằng giá trị s* ước lượng nhờ kinh nghiệm hoặc dựa vào các giá trị mẫu.

Đặt

6.2.2.1. Giải bài toán a): Xác định sai lầm loại hai b

6.2.2.1.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ ≥ m₂

...

...

...

H₁: m₁ < m₂

đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.1 nếu a = 0,05,

– tập 2.1 nếu a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n₁ + n₂ – 2.

6.2.2.1.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ ≤ m₂

...

...

...

H₁: m₁ > m₂

đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.1 nếu a = 0,05,

– tập 2.1 nếu a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n₁ + n₂ – 2.

6.2.2.1.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

H_o: m₁ = m₂

...

...

...

H₁: m₁ ¹ m₂

đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 3.1 nếu a = 0,05,

– tập 4.1 nếu a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường v = n₁ + n₂ – 2.

6.2.2.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu n chung của hai mẫu

6.2.2.2.1. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

...

...

...

với đối thuyết:

H₁: m₁ < m₂

đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.2 nếu a = 0,05,

– tập 2.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho.

6.2.2.2.2. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

...

...

...

so với đối thuyết:

H₁: m₁ > m₂

đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 1.2 nếu a = 0,05,

– tập 2.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho.

6.2.2.2.3. Trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

...

...

...

so với đối thuyết:

H₁: m₁ ¹ m₂

đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số l (0 < l < ¥) tính theo công thức:

Tập đường cần tra là:

– tập 3.2 nếu a = 0,05,

– tập 4.2 nếu a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho.

6.3. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu khi so sánh phương sai hay độ lệch chuẩn với giá trị đã cho

...

...

...

Đối với cả ba trường hợp kiểm nghiệm giả thuyết:

i) H_o: s^2 ≥  (s ≥ s_o), với đối thuyết H₁: s^2 <  (s < s_o)

ii) H_o: s^2 ≤  (s ≤ s_o), với đối thuyết H₁: s^2 <  (s > s_o).

iii) H_o: s^2 =  (s = s_o), với đối thuyết H₁: s^2 ¹  (s ¹ s_o), đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng tham số:

Ta có:

0 < l < 1 trong trường hợp i)

1 < l < ¥ trong trường hợp ii)

0 < l < ¥ trong trường hợp iii)

...

...

...

– tập 5.1 nếu là trường hợp i) và a = 0,05;

– tập 6.1 nếu là trường hợp i) và a = 0,01;

– tập 7.1 nếu là trường hợp ii) và a = 0,05;

– tập 8.1 nếu là trường hợp ii) và a = 0,01;

– tập 9.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05;

– tập 10.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường (n).

6.3.2. Giải bài toán b): Xác định cỡ mẫu

Đối với cả ba trường hợp kiểm nghiệm, đối thuyết cụ thể được biểu thị bằng giá trị tham số như trong 6.3.1.

...

...

...

– tập 5.2 nếu là trường hợp i) và a = 0,05;

– tập 6.2 nếu là trường hợp i) và a = 0,01;

– tập 7.2 nếu là trường hợp ii) và a = 0,05;

– tập 8.2 nếu là trường hợp ii) và a = 0,01;

– tập 9.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05;

– tập 10.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho.

6.4. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu khi so sánh hai phương sai hay hai độ lệch chuẩn

Các ký hiệu như trong 5.2.

...

...

...

Các trường hợp kiểm nghiệm:

i) H_o:  ≥  (s₁ ≥ s₂), với đối thuyết H₁: <  (s₁ < s₂)

ii) H_o:  ≤  (s₁ ≤ s₂), với đối thuyết H₁: <  (s₁ > s_o)

iii) H_o:  ≤  (s₁ ≤ s_o), với đối thuyết H₁: ¹  (s₁ ¹ s_o)

Một cách tương ứng, đối thuyết cụ thể trong mỗi trường hợp được biểu thị bằng tham số l, tính theo công thức:

i/ l = s₂ / s₁ nếu (1 < l < ¥)

ii/ l = s₁ / s₂ nếu (1 < l < ¥)

iii/

l = s₁ / s₂ nếu s₁ < s₂

...

...

...

(1 < l < ¥)

6.4.1. Giải bài toán a): Cho trước n₁ = n₂ = n, xác định sai lầm loại hai b

Tra tập đường:

– 11.1 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,05,

– 12.1 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,01,

– 13.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05,

– 14.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường (n).

6.4.1. Giải bài toán b): Cho trước b, xác định cỡ mẫu chung n

...

...

...

– 11.2 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,05,

– 12.2 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,01,

– 13.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05,

– 14.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho.

PHỤ LỤC A

(tham khảo)

Các ví dụ

...

...

...

Biết rằng kết quả đo của một dụng cụ là không chứa sai số hệ thống và có phân bố chuẩn. Sử dụng dụng cụ đo đó người ta đo tám lần độc lập nhau cùng một đại lượng và thu được các kết quả sau:

369, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383

Cần ước lượng đại lượng được đo.

Giải:

Đại lượng đem đo có thể được ước lượng bằng trung bình mẫu gồm 8 giá trị đo được. Theo công thức (3.1) trung bình mẫu đó bằng:

 = (369 + 378 + 315 + 420 + 385 + 401 + 372 + 383) = 377, 87

A.2. Ví dụ 2 (cho 3.1.2)

Các kết quả đo độ bền của các sợi chỉ được cho trong bảng dưới đây (tính theo gam):

Độ bền của sợi

...

...

...

140 –
160

160 –
170

180 –
200

200 –
220

220 –
240

240 –
260

260 –
280

Tần số

1

...

...

...

10

14

12

6

2

1

Cần ước lượng trung bình độ bền, biết rằng độ bền của các sợi chỉ có phân bố chuẩn.

Giải:

Có thể áp dụng phương pháp ước lượng như trong 3.1.2.

...

...

...

Tần số của các khoảng lần lượt bằng:

1, 4, 10, 14, 12, 6, 2, 1.

Điểm giữa của các khoảng lần lượt bằng:

130, 150, 170, 190, 210, 230, 250, 270.

Cỡ mẫu:

n = 1 + 4 + 10 + 14 + 12 + 6 + 2 + 1 = 50

Vậy theo công thức (3.2) trung bình độ bền được ước lượng bởi:

(1 x 130 + 4 x 150 + 10 x 170 + 14 x 190 + 12 x 210 + 6 x 230 + 2 x 250 + 1 x 270) = 195,2 (gam)

A.3. Ví dụ 3 (cho 3.1.3)

...

...

...

Chọn a = 377, có

= 377 + [369 - 377) + (378 - 377) + (315 - 377) + (420 - 377) + (385 - 377) + (401 - 377) + (372 - 377) + (383 - 377)] = 377 + (- 8 + 1 - 62 + 43 + 8 + 24 - 5 + 6) = 377,875

A.4. Ví dụ 4 (cho 3.1.4)

Xét lại ví dụ 2. Khi ước lượng độ bền trung bình ta có thể sử dụng phương pháp nêu trong 4.1.4. Ở đây h = 20, chọn a = 190, có được:

Do đó theo công thức (3.4) độ bền trung bình được ước lượng bởi:

(gam)

A.5. Ví dụ 5 (cho 3.2.1 và 3.2.5)

...

...

...

Giải:

Sai số bình phương trung bình (tức phương sai) của các giá trị đo đạc được ước lượng bằng phương sai mẫu tính theo công thức (3.7):

s₂ = x [369 - 377,87)^2 + (378 - 377,87)^2 + (315 - 377,87)^2 + (420 - 377,87)^2 + (385 - 377,87)^2 + (401 - 377,87)^2 + (372 - 377,87)^2 + (383 - 377,87)^2] = 921,86

Sai số chuẩn (tức độ lệch chuẩn) được ước lượng bằng:

Muốn thu được ước lượng không chệch, sử dụng ước lượng:

= M (7) x s  = 30,36 x 1,036 = 31,453

(giá trị M(7) = 1,036 tra từ Bảng B.1, Phụ lục B).

A.6. Ví dụ 6 (cho 3.2.4)

...

...

...

Giải:

Có thể áp dụng phương pháp nêu trong 3.2.4.

1 x (-3)^2 + 4 x (-2)^2 + 10 x (-1)^2 + 14 x 0 + 12 x 1 + 6 x 2^2 + 2 x 3^2 + 1 x 4^2 = 105

[1x(-3) + 4 x (-2) + 10 x (-1) + 14 x 0 + 12 x 1 + 6 x 2 + 2 x 3 + 1 x4]^2 = 3,38

Vậy s^2 = 20 x 2,07 - 4,14

A.7. Ví dụ 7 (cho 4.1)

Biết rằng thời gian để sản xuất xong một chi tiết máy là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn s = 1,7 s. Trên cơ sở 100 lần thực nghiệm, người ta lại thấy rằng thời gian trung bình để sản xuất một chi tiết máy đó là  = 5,5 s.

Hãy xác định:

...

...

...

b) Khoảng tin cậy một phía (-¥, m_T),

c) Khoảng tin cậy hai phía (m_D, m_T),

của trung bình thời gian sản xuất một chi tiết máy với mức tin cậy 1 a = 0,99.

Giải:

Tra Bảng B.2 ta được:

Vậy:

a) m_D = 5,5 – 0,231 x 1,7 = 5,107

Khoảng tin cậy một phía (m_D, ¥) với mức tin cậy 0,99 là (5,107 s; ¥).

...

...

...

Khoảng tin cậy một phía (¥, m_T) với mức tin cậy 0,99 là (-¥; 5,893 s).

c) m_D = 5,5 – 0,256 x 1,7 = 5,065

m_T = 5,5 + 0,256 x 1,7 = 5,935

Khoảng tin cậy hai phía (m_D, m_T) là (5,065 s; 5,935 s).

A.8. Ví dụ 8 (cho 4.2.1)

Xét lại ví dụ 1. Cần xác định khoảng tin cậy một phía (m_D, ¥) với mức tin cậy 1 - a = 0,95 của trung bình các số đo.

Giải:

Ở đây n = 8; x = 377,87; s = 30,36.

Tra Bảng B.4 được , vậy giới hạn tin cậy dưới khoảng tin cậy một phía (m_D, ¥) của trung bình các số đo với mức tin cậy 1 -a = 0,95 bằng:

...

...

...

Khoảng tin cậy cần xác định là (357,53; ¥).

A.9. Ví dụ 9 (cho 4.2.2)

Xét lại ví dụ 1. Cần xác định khoảng tin cậy một phía (-¥, m_T) của trung bình các số đo với mức tin cậy 0,95.

Giải:

Tra Bảng B.4 được và do đó:

m_T = 377,87 + 0,67 x 30,36 = 398,21

Khoảng tin cậy cần xác định là (-¥; 398,21).

A.10. Ví dụ 10 (cho 4.2.3)

Xét lại ví dụ 1. Cần xác định khoảng tin cậy hai phía (m_D, m_T) của trung bình các số đo với mức tin cậy 1 - a = 0,95.

...

...

...

Tra Bảng B.4 được:

Các giới hạn dưới và trên của khoảng tin cậy cần xác định là:

m_D = 377,870 – 0,836 x 30,36 = 352,49

m_T = 377,870 + 0,836 x 30,36 = 403,25

Khoảng tin cậy cần tìm là (352,49; 403,25).

A.11. Ví dụ 11 (cho 4.3)

Xét lại ví dụ 1. Cần xác định:

a) Khoảng tin cậy một phía (),

...

...

...

c) Khoảng tin cậy hai phía

của sai số bình phương trung bình (phương sai) của số đo với mức tin cậy 0,95.

Giải:

(369 - 377,87)^2 + (378 - 377,87)^2 + (315 - 377,87)^2 + (420 - 377,87)^2 + (385 - 377,87)^2 + (401 - 377,87)^2 + (372 - 377,87)^2 + (383 - 377,87)^2 = 6 453,020

Tra Bảng B.5, Phụ lục B được:

(7) = 14,067;          (7) = 2,167;           (7) = 16,013;          (7) = 1,690;

vậy:

a)

...

...

...

b)

Khoảng tin cậy một phía cần xác định là (-¥; 2 977,859).

c)

Khoảng tin cậy hai phía  cần xác định là ( 402,986; 3 818,355).

A.12. Ví dụ 12 (cho 5.1.1)

Biết rằng chiều dài của những đoạn ống do một máy cắt ống tự động cắt ra là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với phương sai s^2 = 22. Hãy kiểm nghiệm giả thuyết độ dài trung bình bằng 1 200 mm với a = 0,01 dựa vào tập các số liệu đo được trên một mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 16 đoạn ống sau đây:

1 193, 1 198, 1 203, 1 191, 1 195, 1 196, 1 199, 1 191, 1 201, 1 196, 1 193, 1 198, 1 204, 1 196, 1 198, 1 200 (đơn vị là milimet).

Giải:

...

...

...

Với a = 0,01 tra Bảng B.2 được:

Do đó:

Vì

nên giả thuyết nói rằng chiều dài trung bình của các đoạn ống đã cắt bằng 1 200 mm không bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,01.

A.13. Ví dụ 13 (cho 5.1.2)

...

...

...

Giải:

Ước lượng độ lệch chuẩn mẫu

Với a = 0,01 tra Bảng B.4 được:

Do đó:

Vì

...

...

...

A.14. Ví dụ 14 (cho 5.2.1)

Người ta cần kiểm tra xem một phương pháp sản xuất mới có nâng cao được chất lượng bê tông không, biết rằng độ bền của bê tông (tính bằng kg/cm^2) sản xuất theo hai phương pháp mới và cũ là những đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với phương sai lần lượt là  = 46 và  = 30,4. Để làm việc đó, người ta lấy 20 phần nguyên liệu như nhau, chia ngẫu nhiên 20 phần đó ra làm hai nhóm, mỗi nhóm 10 phần; sau đó áp dụng mỗi phương pháp cho một nhóm, sản xuất ra 10 – 10 khối bê tông giống nhau về hình dạng. Gọi x₁ và x₂ lần lượt là độ bền của bê tông sản xuất theo phương pháp mới và cũ. Thử nghiệm độ bền của các khối bê tông đúc được theo hai phương pháp trong hai nhóm nguyên liệu, người ta đã thu được các số liệu sau đây:

X₁

x₂

305

317

308

300

314

...

...

...

312

309

306

300

301

303

288

294

293

...

...

...

302

295

Giải:

Áp dụng quy tắc nêu trong 5.2.1.1 với a = 0,05.

= 310;                                   = 297

Tra dòng 1 Bảng B.2 được:

u_1-a = 1,645

Do đó

...

...

...

Vì

= 310 > 292,453 = - u_1-a x s_d

giả thuyết nói rằng độ bền trung bình của bê tông sản xuất theo phương pháp mới không nhỏ hơn độ bền trung bình của bê tông sản xuất theo phương pháp cũ được chấp nhận ở mức ý nghĩa a = 0,05.

A.15. Ví dụ 15 (cho 5.2.2)

Để so sánh độ chính xác của hai dụng cụ đo, người ta dùng mỗi dụng cụ để đo 10 lần cùng một đại lượng. Biết rằng sai số đo đạc của hai dụng cụ đều là những biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn có phương sai bằng nhau, hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng sai số trung bình của dụng cụ đo thứ nhất là không nhỏ hơn sai số trung bình của dụng cụ đo thứ hai ở mức ý nghĩa a = 0,05. Các sai số xác định được trong mỗi lần đo của hai dụng cụ là như sau:

x₁

x₂

2,297

2,582

...

...

...

2,362

2,040

2,133

1,855

1,986

1,642

2,915

2,286

2,327

...

...

...

3,172

3,158

2,750

2,222

2,367

2,247

2,512

Sử dụng quy tắc nêu trong 5.2.2.1

= 2,176;                    = 2,543

...

...

...

Tra Bảng B.3 với 1 - a = 0,95, v = 18 được:

t_1-a (v) = 1,734

Do đó:

t_1-a (v) s_d = 0,284

Vì

= 2,176 < 2,259 = - t_1-a (v)s_d

nên giả thuyết nói rằng sai số trung bình của dụng cụ đo thứ nhất không nhỏ hơn sai số trung bình của dụng cụ đo thứ hai bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,05.

A.16. Ví dụ 16 (cho 5.3)

...

...

...

Giải

Tính tỷ số:

Tra Bảng B.5 được:

Vì

nên giả thuyết nêu ra không bị bác bỏ, các số liệu mẫu không mâu thuẫn với giả thuyết đó ở mức ý nghĩa a = 0,05.

A.17. Ví dụ 17 (cho 5.4)

...

...

...

Giải:

Ở đây

v₁ = v₂ = 9

                              

Từ đó có

Tra Bảng B.6 và áp dụng phép nội suy, thu được

Từ đó có

...

...

...

Vì

nên ta không bác bỏ giả thuyết đã nêu trên cơ sở số liệu mẫu ở mức ý nghĩa a = 0,05.

A.18. Ví dụ 18 (cho 6.1.1.1)

Xét lại vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết đã nêu trong ví dụ 12. Cần xác định xác suất mắc sai lầm loại hai b, tức xác suất chấp nhận giả thuyết m = 1 200 khi trên thực tế m = 1 195.

Giải:

Giá trị tham số l ứng với đối thuyết cụ thể m = 1 195 bằng:

Tra tập đường 4.1 Phụ lục C, ứng với l = 6,667 trên đường v = 15 thu được b = 0,000 8.

...

...

...

Tiếp tục ví dụ 18. Giả sử có thể chấp nhận sai lầm loại hai b = 0,01 (lớn hơn giá trị 0,000 8 đã xác định trong ví dụ 18), khi đó có thể giảm cỡ mẫu cần lấy n xuống bao nhiêu?

Giải:

Xác định giá trị tham số l ứng với đối thuyết cụ thể m = 1 195:

Tra tập đường 4.1 Phụ lục C, trên đường gián đoạn ứng với b = 0,01 điểm có hoành độ l = 1,667 cho tung độ bằng 9. Vậy có thể giảm cỡ mẫu cần lấy xuống n = 9.

A.20. Ví dụ 20 (cho 6.1.2.1)

Xét lại vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết đã nêu trong ví dụ 13. Cần xác định sai lầm loại hai, khi trên thực tế m = 1 195 mm.

Giải:

Ước lượng độ lệch tiêu chuẩn dựa trên các giá trị mẫu:

...

...

...

Cận trên khoảng tin cậy một phía của phương sai tổng thể s^2 với mức tin cậy 1 - a = 0,99 bằng

Do đó rất ít khả năng s sẽ lớn hơn

Tra tập đường 4.1 Phụ lục C với v = 15 và

thu được b = 0,59. Vậy sai lầm loại hai sẽ nhỏ hơn 0,59.

A.21. Ví dụ 21 (cho 6.1.2.2)

Xét lại ví dụ 13 và ví dụ 20. Cần xác định cỡ mẫu phải chọn n sao cho khi áp dụng quy tắc kiểm nghiệm thì sai lầm loại hai b phải chịu không lớn hơn 0,05.

Giải:

...

...

...

và b = 0,05 thu được n = 44.

A.22. Ví dụ 22 (cho 6.2.1.1)

Xét vấn đề kiểm nghiệm đã nêu trong ví dụ 14. Cần xác định sai lầm loại hai b, khi trên thực tế m₂ – m₁ = 6.

Giải:

Tính được

s_d = 2,746

Tra tập đường 1.1 Phụ lục C với

...

...

...

A.23. Ví dụ 23 (cho 6.2.1.2)

Tiếp tục ví dụ 22. Cần xác định các cỡ mẫu lớn hơn để sai lầm loại hai giảm xuống 0,10.

Giải:

Tra tập đường 1.1 Phụ lục C. Trên đường v = ¥ điểm có tung độ b = 0,10 sẽ có hoành độ l = 2,88.

Vậy

A.24. Ví dụ 24 (cho 6.2.2.1)

Xét vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết đã nêu trong ví dụ 15. Cần xác định sai lầm loại hai b, khi trên thực tế m₂ – m₁ = 0,300.

Giải:

...

...

...

 = 0,140;                                = 0,131;

Hai phương sai mẫu sai khác không đáng kể, có thể chấp nhận

Ước lượng phương sai chung s^2 của x₁ và x₂ bằng

Cận trên khoảng tin cậy một phía của s^2 với mức tin cậy 1 - a = 0,95 là

Vậy rất ít khả năng s lớn hơn .

Suy ra cận dưới của tham số l xác định đối thuyết cụ thể m₂ – m₁ = 0,300 bằng:

...

...

...

A.25. Ví dụ 25 (cho 6.2.2.2)

Tiếp tục ví dụ 24. Cần xác định các cỡ mẫu chung lớn hơn để sai lầm loại hai b không lớn hơn 0,20.

Giải:

Tra tập đường 1.2 Phụ lục C. Với

và b = 0,20 thu được n = 38.

A.26. Ví dụ 26 (cho 6.3.1)

Xét tiếp ví dụ 16. Cần xác định sai lầm loại hai b khi trên thực tế s = 0,20.

Giải:

...

...

...

đường v = 9 cho b = 0,08.

A.27. Ví dụ 27 (cho 6.3.2)

Xét vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết nêu trong ví dụ 16 và 26, cần xác định cỡ mẫu n để sai lầm loại hai phải chịu giảm xuống 0,05 khi trên thực tế s = 0,20.

Giải: Tra tập đường 7.2 Phụ lục C với b = 0,05 và

.

Có n = 11.

A.28. Ví dụ 28 (cho 6.4.1)

Xét tiếp vấn đề kiểm nghiệm nêu trong ví dụ 17. Cần xác định sai lầm loại hai b khi trên thực tế:

...

...

...

Giải:

Tập đường cần tra là tập 13.1. Với

và n = 10 thu được b = 0,65.

A.29. Ví dụ 29 (cho 6.4.2)

Tiếp tục ví dụ 28. Cần xác định cỡ mẫu chung n = n₁ = n₂ sao cho b giảm xuống 0,10.

Giải:

Tập đường cần tra là tập 13.2 Phụ lục C. Với b = 0,10 và l = 1,5 thu được n = 54.

...

...

...

(quy định)

Các bảng số

Bảng B.1 – Hệ số M (v)

v

M (v)

v

M (v)

...

...

...

v

M (v)

...

...

...

2

3

4

5

6

7

8

9

1,253

...

...

...

1,085

1,064

1,051

1,042

1,036

1,032

1,028

10

11

...

...

...

13

14

15

16

17

18

1,025

1,023

1,021

...

...

...

1,018

1,017

1,016

1,015

1,014

19

20

25

30

...

...

...

40

45

50

60

1,013

1,013

1,010

1,008

1,007

...

...

...

1,006

1,005

1,004

Bảng B.2 – Các giá trị của tỉ số U_1-α /

n

Trường hợp hai phía

Trường hợp một phía

...

...

...

1

2

3

4

5

6

7

8

...

...

...

10

11

12

13

14

15

16

17

18

...

...

...

20

21

22

23

24

25

26

27

...

...

...

29

30

31

41

51

61

71

81

...

...

...

101

201

501

1,960

1,386

1,132

0,980

0,877

0,800

...

...

...

0,693

0,653

0,620

0,591

0,566

0,544

0,524

0,506

0,490

...

...

...

0,462

0,450

0,438

0,428

0,418

0,409

0,400

0,392

...

...

...

0,377

0,370

0,364

0,358

0,352

0,306

0,274

0,251

...

...

...

0,218

0,205

0,195

0,138

0,088

0

2,576

1,821

1,487

...

...

...

1,152

1,052

0,974

0,911

0,859

0,815

0,777

0,744

0,714

...

...

...

0,665

0,644

0,625

0,607

0,591

0,576

0,562

0,549

...

...

...

0,526

0,515

0,505

0,496

0,487

0,478

0,470

0,463

...

...

...

0,361

0,330

0,306

0,286

0,270

0,256

0,182

0,115

0

...

...

...

1,163

0,950

0,822

0,736

0,672

0,622

0,582

0,548

0,520

...

...

...

0,475

0,456

0,440

0,425

0,411

0,399

0,388

0,377

0,368

...

...

...

0,359

0,351

0,343

0,336

0,329

0,323

0,317

0,311

0,305

...

...

...

0,295

0,257

0,230

0,211

0,195

0,183

0,172

0,164

...

...

...

0,073

0

2,326

1,645

1,343

1,163

1,040

0,950

0,879

...

...

...

0,775

0,735

0,701

0,671

0,645

0,622

0,601

0,582

0,564

...

...

...

0,534

0,520

0,508

0,496

0,485

0,475

0,465

0,456

...

...

...

0,440

0,432

0,425

0,418

0,363

0,326

0,298

0,276

...

...

...

0,244

0,231

0,164

0,104

0

Bảng B.3 – Phân vị của phân bố t (phân bố Student)

v

Trường hợp hai phía

Trường hợp một phía

...

...

...

t _0,995

t _0,95

t _0,99

1

2

3

4

5

6

...

...

...

8

9

10

11

12

13

14

15

...

...

...

17

18

19

20

21

22

23

24

...

...

...

26

27

28

29

30

40

60

120

...

...

...

4,303

3,182

2,776

2,571

2,447

2,365

2,306

2,262

2,288

...

...

...

2,201

2,179

2,160

2,145

2,131

2,120

2,110

2,101

2,093

...

...

...

2,080

2,074

2,069

2,064

2,060

2,056

2,052

2,048

...

...

...

2,042

2,021

2,000

1,980

1,960

63,657

9,925

5,841

...

...

...

4,032

3,707

3,499

3,355

3,250

3,169

3,106

3,055

...

...

...

2,977

2,947

2,921

2,898

2,878

2,861

2,845

2,831

...

...

...

2,807

2,797

2,787

2,779

2,771

2,763

2,756

2,750

...

...

...

2,660

2,617

2,576

6,314

2,920

2,353

2,132

2,015

1,943

...

...

...

1,860

1,833

1,812

1,796

1,782

1,771

1,761

1,753

...

...

...

1,740

1,734

1,729

1,725

1,721

1,717

1,714

1,711

...

...

...

1,706

1,703

1,701

1,699

1,697

1,684

1,671

1,658

...

...

...

31,821

6,965

4,541

3,747

3,365

3,143

2,998

2,896

2,821

...

...

...

2,718

2,681

2,650

2,624

2,602

2,583

2,567

2,552

...

...

...

2,528

2,518

2,508

2,500

2,492

2,485

2,479

2,473

...

...

...

2,462

2,457

2,423

2,390

2,358

2,326

Bảng B.4 – Các giá trị của tỷ số t_1-α (v)/với v = n -1

V = n - 1

...

...

...

Trường hợp một phía

1

2

3

4

...

...

...

6

7

8

9

10

11

12

13

...

...

...

15

16

17

18

19

20

21

22

...

...

...

24

25

26

27

28

29

30

40

...

...

...

60

70

80

90

100

200

500

-

8,985

...

...

...

1,591

1,242

1,049

0,925

0,836

0,769

0,715

0,672

...

...

...

0,604

0,577

0,554

0,533

0,514

0,497

0,482

0,468

0,455

...

...

...

0,443

0,432

0,422

0,413

0,404

0,396

0,388

0,380

0,373

...

...

...

0,316

0,281

0,256

0,237

0,221

0,208

0,197

0,139

...

...

...

0

45,013

5,730

2,920

2,059

1,646

1,401

1,237

1,118

...

...

...

0,956

0,897

0,847

0,805

0,769

0,737

0,708

0,683

...

...

...

0,640

0,621

0,604

0,588

0,573

0,559

0,547

0,535

...

...

...

0,513

0,503

0,494

0,422

0,375

0,341

0,314

0,293

...

...

...

0,261

0,183

0,116

0

4,465

1,686

1,177

0,953

0,823

...

...

...

0,670

0,620

0,580

0,546

0,518

0,494

0,473

0,455

...

...

...

0,423

0,410

0,398

0,387

0,376

0,367

0,358

0,350

...

...

...

0,335

0,328

0,322

0,316

0,310

0,305

0,263

0,235

...

...

...

0,198

0,185

0,174

0,165

0,117

0,074

0

22,501

4,021

...

...

...

1,676

1,374

1,188

1,060

0,966

0,892

0,833

0,785

...

...

...

0,708

0,678

0,651

0,626

0,605

0,586

0,568

0,552

...

...

...

0,523

0,510

0,498

0,487

0,477

0,467

0,458

0,449

0,441

...

...

...

0,378

0,337

0,306

0,283

0,264

0,248

0,235

0,165

0,104

...

...

...

Bảng B.5 – Phân vị của nhân tố c^2 (v)

v

Trường hợp hai phía

Trường hợp một phía

...

...

...

1

2

3

4

5

6

7

...

...

...

9

10

11

12

13

14

15

16

...

...

...

18

19

20

21

22

23

24

25

...

...

...

27

28

29

30

0,001

0,051

0,216

0,484

0,831

...

...

...

1,690

2,180

2,700

3,247

3,816

4,404

5,009

5,629

...

...

...

6,908

7,564

8,231

8,907

9,591

10,283

10,982

11,689

...

...

...

13,120

13,844

14,573

15,308

16,047

16,791

5,023

7,378

9,348

...

...

...

12,833

14,449

16,013

17,535

19,023

20,483

21,920

23,337

...

...

...

26,119

27,488

28,845

30,191

31,526

32,852

34,170

35,479

...

...

...

38,076

39,364

40,647

41,923

43,194

44,461

45,722

46,979

0,000 039 3

...

...

...

0,072

0,207

0,412

0,676

0,989

1,344

1,735

2,156

...

...

...

3,074

3,565

4,075

4,601

5,142

5,697

6,265

6,844

7,434

...

...

...

8,034

8,643

9,260

9,886

10,520

11,160

11,808

12,461

13,121

...

...

...

7,879

10,597

12,838

14,860

16,750

18,548

20,278

21,955

23,589

...

...

...

26,757

28,300

29,819

31,319

32,801

34,267

35,719

37,156

...

...

...

39,997

41,401

42,796

44,181

45,559

46,928

48,290

49,645

...

...

...

52,336

53,672

0,004

0,103

0,352

0,711

1,145

1,635

2,167

...

...

...

3,325

3,940

4,575

5,226

5,892

6,571

7,261

7,962

...

...

...

9,390

10,117

10,851

11,591

12,338

13,091

13,848

14,661

...

...

...

16,151

16,928

17,708

18,493

3,841

5,991

7,815

9,488

11,071

...

...

...

14,067

15,507

16,919

18,307

19,675

21,026

22,362

23,685

...

...

...

26,296

27,587

28,869

30,144

31,410

32,671

33,924

35,173

...

...

...

37,653

38,885

40,113

41,337

42,557

43,773

0,000 2

0,020

0,115

...

...

...

0,554

0,872

1,239

1,646

2,088

2,558

3,053

3,571

...

...

...

4,660

5,229

5,812

6,408

7,015

7,633

8,260

8,897

...

...

...

10,196

10,856

11,524

12,198

12,879

13,565

14,257

14,954

6,635

...

...

...

11,345

13,277

15,086

16,812

18,475

20,090

21,666

23,209

...

...

...

26,217

27,688

29,141

30,578

32,000

33,409

34,805

38,191

37,566

...

...

...

38,932

40,289

41,638

42,980

44,314

45,642

46,963

48,278

49,588

...

...

...

Bảng B.6 – Phân vị của phân bố F

Giá trị của F_1-a (1, 2), a = 0,05

4

5

6

7

8

10

...

...

...

15

20

24

30

40

60

120

4

5

...

...

...

7

8

10

12

15

20

24

30

40

...

...

...

120

6,39

5,19

4,53

4,12

3,84

3,48

3,26

3,06

...

...

...

2,78

2,69

2,61

2,53

2,45

6,26

5,05

4,39

3,97

...

...

...

3,33

3,11

2,90

2,71

2,62

2,53

2,45

2,37

2,29

...

...

...

4,95

4,28

3,87

3,58

3,22

3,00

2,79

2,60

2,51

...

...

...

2,34

2,25

2,17

6,09

4,88

4,21

3,79

3,50

3,14

...

...

...

2,71

2,51

2,42

2,33

2,25

2,17

2,09

6,04

4,82

...

...

...

3,73

3,44

3,07

2,85

2,64

2,45

2,36

2,27

2,18

...

...

...

2,02

5,96

4,74

4,06

3,64

3,35

2,98

2,75

2,54

...

...

...

2,25

2,16

2,08

1,99

1,91

5,91

4,68

4,00

3,57

...

...

...

2,91

2,69

2,48

2,28

2,18

2,09

2,00

1,92

1,83

...

...

...

4,62

3,94

3,51

3,22

2,85

2,62

2,40

2,20

2,11

...

...

...

1,92

1,84

1,75

5,80

4,56

3,87

3,44

3,15

2,77

...

...

...

2,33

2,12

2,03

1,93

1,84

1,75

1,66

5,77

4,53

...

...

...

3,41

3,12

2,74

2,51

2,29

2,08

1,98

1,89

1,79

...

...

...

1,61

5,75

4,50

3,81

3,38

3,08

2,70

2,47

2,25

...

...

...

1,94

1,84

1,74

1,65

1,55

5,72

4,46

3,77

3,34

...

...

...

2,66

2,43

2,20

1,99

1,89

1,79

1,69

1,59

1,50

...

...

...

4,43

3,74

3,30

3,01

2,62

2,38

2,16

1,95

1,84

...

...

...

1,64

1,53

1,43

5,66

4,40

3,70

3,27

2,97

2,58

...

...

...

2,11

1,90

1,79

1,68

1,58

1,47

1,35

Giá trị của F_1-a (1, 2), a = 0,025

...

...

...

5

6

7

8

10

12

15

20

24

...

...

...

40

60

120

4

5

6

7

8

10

...

...

...

15

20

24

30

40

60

120

9,60

7,39

...

...

...

5,52

5,05

4,47

4,12

3,80

3,51

3,38

3,25

3,13

...

...

...

2,89

9,36

7,15

5,99

5,29

4,82

4,24

3,89

3,58

...

...

...

3,15

3,03

2,90

2,79

2,67

9,20

6,98

5,82

5,12

...

...

...

4,07

3,73

3,41

3,13

2,99

2,87

2,74

2,63

2,52

...

...

...

6,85

5,70

4,99

4,53

3,95

3,61

3,29

3,01

2,87

...

...

...

2,62

2,51

2,39

8,98

6,76

5,60

4,90

4,43

3,85

...

...

...

3,20

2,91

2,78

2,65

2,53

2,41

2,30

8,84

6,62

...

...

...

4,76

4,30

3,72

3,37

3,06

2,77

2,64

2,51

2,39

...

...

...

2,16

8,75

6,52

5,37

4,67

4,20

3,62

3,28

2,96

...

...

...

2,54

2,41

2,29

2,17

2,05

8,66

6,43

5,27

4,57

...

...

...

3,52

3,18

2,86

2,57

2,44

2,31

2,18

2,06

1,94

...

...

...

6,33

5,17

4,47

4,00

3,42

3,07

2,76

2,46

2,33

...

...

...

2,07

1,94

1,82

8,51

6,28

5,12

4,42

3,95

3,37

...

...

...

2,70

2,41

2,27

2,14

2,01

1,88

1,76

8,46

6,23

...

...

...

4,36

3,89

3,31

2,96

2,64

2,35

2,21

2,07

1,94

...

...

...

1,69

8,41

6,18

5,01

4,31

3,84

3,26

2,91

2,59

...

...

...

2,15

2,01

1,88

1,74

1,61

8,36

6,12

4,96

4,25

...

...

...

3,20

2,85

2,52

2,22

2,08

1,94

1,80

1,67

1,53

...

...

...

6,07

4,90

4,20

3,73

3,14

2,79

2,46

2,16

2,01

...

...

...

1,72

1,58

1,43

Bảng B.6 (kết thúc)

Giá trị của F_1-a (1, 2), a = 0,01

4

5

6

...

...

...

8

10

12

15

20

24

30

40

60

...

...

...

4

5

6

7

8

10

12

15

20

...

...

...

30

40

60

120

15,98

11,39

9,15

7,85

7,01

...

...

...

5,41

4,89

4,43

4,22

4,02

3,83

3,65

3,48

15,52

...

...

...

8,75

7,46

6,63

5,64

5,06

4,56

4,10

3,90

3,70

...

...

...

3,34

3,17

15,21

10,67

8,47

7,19

6,37

5,39

4,82

...

...

...

3,87

3,67

3,47

3,29

3,12

2,96

15,80

10,29

8,10

...

...

...

6,03

5,06

4,50

4,00

3,56

3,36

3,17

2,90

2,82

...

...

...

14,98

10,46

8,26

6,99

6,18

5,20

4,64

4,14

3,70

...

...

...

3,30

3,12

2,95

2,79

14,55

10,05

7,87

6,62

5,81

...

...

...

4,30

3,80

3,37

3,17

2,98

2,80

2,63

2,47

14,37

...

...

...

7,72

6,47

5,67

4,71

4,16

3,67

3,23

3,03

2,84

...

...

...

2,50

2,34

14,20

9,72

7,56

6,31

5,52

4,56

4,01

...

...

...

3,09

2,89

2,70

2,52

2,35

2,19

14,02

9,55

7,40

...

...

...

5,36

4,41

3,86

3,37

2,94

2,74

2,55

2,37

2,20

...

...

...

13,93

9,47

7,31

6,07

5,28

4,33

3,78

3,29

2,86

...

...

...

2,47

2,29

2,12

1,95

13,84

9,38

7,23

5,99

5,20

...

...

...

3,70

3,21

2,78

2,58

2,39

2,20

2,03

1,86

13,75

...

...

...

7,14

5,91

5,12

4,17

3,62

3,13

2,69

2,49

2,30

...

...

...

1,94

1,76

13,65

9,20

7,06

5,82

5,03

4,08

3,54

...

...

...

2,61

2,40

2,21

2,02

1,84

1,66

13,56

9,11

6,97

...

...

...

4,95

4,00

3,45

2,96

2,52

2,31

2,11

1,92

1,73

...

...

...

Giá trị của F_1-a (1, 2), a  = 0,005

4

5

6

7

8

10

12

...

...

...

20

24

30

40

60

120

4

5

6

...

...

...

8

10

12

15

20

24

30

40

60

...

...

...

23,15

15,56

12,03

10,05

8,81

7,34

6,52

5,80

5,17

...

...

...

4,62

4,37

4,14

3,92

22,46

14,94

11,46

9,52

8,30

...

...

...

6,07

5,37

4,76

4,49

4,29

3,99

3,76

3,55

21,97

...

...

...

11,07

9,16

7,95

6,54

5,76

5,07

4,47

4,20

3,95

...

...

...

3,49

3,28

21,62

14,20

10,79

8,89

7,69

6,30

5,52

...

...

...

4,26

3,99

3,74

3,51

3,29

3,09

21,25

13,96

10,57

...

...

...

7,50

6,12

5,35

4,67

4,09

3,83

3,58

3,35

3,13

...

...

...

20,97

13,62

10,25

8,38

7,21

5,85

5,09

4,42

3,85

...

...

...

3,34

3,12

2,90

2,71

20,70

13,38

10,03

8,18

7,01

...

...

...

4,91

4,25

3,68

3,42

3,18

2,95

2,74

2,54

20,44

...

...

...

9,81

7,97

6,81

5,47

4,72

4,07

3,50

3,25

3,01

...

...

...

2,57

2,37

20,17

12,90

9,59

7,75

6,61

5,27

4,53

...

...

...

3,32

3,06

2,82

2,60

2,39

2,19

20,03

12,78

9,47

...

...

...

6,50

5,17

4,43

3,79

3,22

2,97

2,73

2,50

2,29

...

...

...

19,89

12,66

9,36

7,53

6,40

5,07

4,33

3,69

3,12

...

...

...

2,63

2,40

2,19

1,98

19,75

12,53

9,24

7,42

6,29

...

...

...

4,23

3,58

3,02

2,77

2,52

2,30

2,08

1,87

19,61

...

...

...

9,12

7,31

6,18

4,86

4,12

3,48

2,92

2,66

2,42

...

...

...

1,96

1,75

19,47

12,27

9,00

7,19

6,06

4,75

4,01

...

...

...

2,81

2,55

2,30

2,06

1,83

1,61

PHỤ LỤC C

(quy định)

...

...

...

...

...

...

Tập 9.1 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với một giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,05)

Tập 10.1 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với một giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,01)

...

...

...

Tập 1.2 – Kiểm nghiệm một phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I a = 0,05)

a) Kiểm nghiệm m ≤ m_o hoặc m ≥ m_o

...

...

...

b) Kiểm nghiệm m₁ ≤ m₂ hoặc m₁ ≥ m₂

– Nếu s₁ = s₁ = s biết, dùng các đường nét đứt, với

– Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

– Nếu s₁ = s₁ = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

n₁ = n₂ = n (kích thước chung của hai mẫu).

...

...

...

Tập 2.2 – Kiểm nghiệm một phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I a = 0,01)

a) Kiểm nghiệm m ≤ m_o hoặc m ≥ m_o

– Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với

b) Kiểm nghiệm m₁ ≤ m₂ hoặc m₁ ≥ m₂

– Nếu s₁ = s₁ = s biết, dùng các đường nét đứt, với

– Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

...

...

...

n₁ = n₂ = n (kích thước chung của hai mẫu).

Tập 3.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I  = 0,05)

a) Kiểm nghiệm m = m_o

– Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với

b) Kiểm nghiệm m₁ = m₂

...

...

...

– Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

– Nếu s₁ = s₁ = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

n₁ = n₂ = n (kích thước chung của hai mẫu).

Tập 4.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I a = 0,01)

a) Kiểm nghiệm m = m_o

...

...

...

b) Kiểm nghiệm m₁ = m₂

– Nếu s₁ = s₁ = s biết, dùng các đường nét đứt, với

– Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

– Nếu s₁ = s₁ = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

n₁ = n₂ = n (kích thước chung của hai mẫu).

...

...

...

Tập 9.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,05)

Kiểm nghiệm

l = s/ s_o

...

...

...

Kiểm nghiệm

l = s/ s_o

Tập 12.2 – Kiểm nghiệm một phía so sánh các phương sai (sai lầm loại I a = 0,01)

...

...

...

(tham khảo)

So sánh hai trung bình trong trường hợp các quan trắc được ghép thành cặp

Một trong những điều kiện áp dụng các quy tắc kiểm nghiệm giả thuyết so sánh hai trung bình đã nêu trong 6.2 là hai tập quan trắc (x_1i) và (x_2i) trên hai mẫu phải độc lập. Trong thực hành nhiều khi điều kiện đó không thỏa mãn, chẳng hạn trong trường hợp các quan trắc được ghép thành cặp.

Hai quan trắc x_1i và x_2i về một đặc trưng hay thuộc tính nào đó gọi là được ghép thành cặp nếu chúng được thực hiện:

– trên cùng một cá thể thứ i lấy ra từ tổng thể nhưng trong những điều kiện khác nhau (ví dụ hai kết quả của hai phương pháp thử nghiệm trên cùng một sản phẩm); hoặc

– trên hai cá thể được coi là như nhau về mọi khía cạnh trừ một khía cạnh có thể có sự khác nhau mang tính hệ thống, mà sự khác nhau đó là đối tượng của việc nghiên cứu (ví dụ khi so sánh năng suất gieo trồng bằng hai loại hạt trên những lô đất cạnh nhau, trong những điều kiện như nhau).

Rõ ràng các quan trắc được ghép thành cặp là không độc lập, vì mỗi quan trắc x1i của dãy thứ nhất được ghép với một quan trắc x_2i của dãy thứ hai. Nếu quan trắc x_1i và x_2i được tiến hành trên cùng một cá thể thứ i, khi đó chúng có thể tương tác, kết quả thu được có thể phụ thuộc vào thứ tự thực hiện.

Ký hiệu:

n = cỡ mẫu chung;

...

...

...

 = trung bình mẫu của các d_i;

d = trung bình tổng thể của các d_i;

d_o = giá trị cho trước.

Phụ lục này trình bày các quy tắc kiểm nghiệm giả thuyết so sánh trung bình d với d_o. Khi d_o = 0, các vấn đề so sánh ở đây chính là các vấn đề so sánh đã nêu trong 5.2.

Các quy tắc có thể được áp dụng một cách hiệu quả, nếu hai điều kiện sau thỏa mãn:

– Dãy các hiệu d_i = x₁i – x_2i (i = 1, 2 ..., n) có thể được xem như dãy các quan trắc độc lập.

– Phân bố của các d_i là chuẩn hay xấp xỉ chuẩn.

Trong trường hợp tính chuẩn bị vi phạm, các quy tắc vẫn còn hiệu lực nếu cỡ mẫu đủ lớn. Độ lệch càng xa so với phân bố chuẩn, đòi hỏi cỡ mẫu càng lớn. Cỡ mẫu khoảng 100 là đủ cho phần lớn các ứng dụng.

D.1. Quy tắc một phía đề kiểm nghiệm giả thuyết

...

...

...

so với đối thuyết:

H₁: d < d_o

với mức ý nghĩa a như sau:

– Ước lượng trung bình d bằng  tính theo công thức:

– Ước lượng độ lệch chuẩn của các hiệu d_i bằng:

– Tính đại lượng:

...

...

...

– Nếu  < d_o – A₁ thì giả thuyết H_o bị bác bỏ.

Giá trị  cho trong Bảng B.4 với a = 0,05 và a = 0,01.

D.2. Quy tắc một phía đề kiểm nghiệm giả thuyết

H_o: d ≤ d_o

so với đối thuyết:

H₁: d > d_o

với mức ý nghĩa a như sau:

– Thực hiện các tính toán như trong D.1;

– Nếu  > d_o + A₁ thì H_o bị bác bỏ.

...

...

...

H_o: d = d_o

so với đối thuyết:

H₁: d ¹ d_o

với mức ý nghĩa a như sau:

– Tính  và s_d như trong D.1;

– Tính đại lượng:

trong đó  là  – phân vị của phân bố t với v = n – 1 bậc tự do.

– Nếu thì H_o bị bác bỏ.

...

...

...

VÍ DỤ: Bảng số liệu dưới đây bao gồm chiều cao (tính bằng mét) của mười hai cây đo bằng hai phương pháp: phương pháp hình học áp dụng khi cây còn đứng và phương pháp đo bình thường áp dụng khi cây đã được hạ xuống.

Cây đứng

Cây đã hạ

Hiệu d_i

20,4

25,4

25,6

25,6

26,6

...

...

...

28,7

29,0

29,8

30,5

30,9

31,1

21,7

26,3

26,8

...

...

...

26,2

27,3

29,5

32,0

30,9

32,3

32,3

31,7

– 1,3

...

...

...

– 1,2

– 2,5

0,4

1,3

– 0,8

– 3,0

– 1,1

– 1,8

– 1,4

...

...

...

 = 27,68

 = 28,76

 = −1,08

Giả thuyết rằng các d_i có phân bố chuẩn. Hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng về trung bình chiều cao đo được theo hai phương pháp là bằng nhau, tức là hãy kiểm nghiệm giả thuyết:

Ho: d = 0 so với đối thuyết: H₁: d ¹ 0

ở mức ý nghĩa a = 0,05.

Giải:

 = −1,08;                                          

Tra bảng B.4 với a = 0,05, n = 12, v = n – 1 =11 thu được

...

...

...

Từ đó

Vì

nên giả thuyết H_o bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,05.

THƯ MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] ISO 2602 : 1980, Statistical interpretation of test results – Estimation of the mean – Confidence interval (Giải thích thống kê các kết quả kiểm nghiệm – Ước lượng trung bình – Khoảng tin cậy)

[2] ISO 2854 : 1976, Statistical interpretation of data – Techniques of estimation and tests relating to means and variances (Giải thích thống kê dữ liệu – Kỹ thuật ước lượng và kiểm nghiệm liên quan đến trung bình và phương sai)

...

...

...

[4] ISO 3494 : 1976, Statistical interpretation of data – Power of tests relating to means and variances (Giải thích thống kê dữ liệu – Năng lực kiểm nghiệm liên quan đến các trung bình và phương sai)

MỤC LỤC

Lời nói đầu

1. Phạm vi áp dụng

2. Thuật ngữ và định nghĩa

3. Ước lượng trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn

4. Xác định khoảng tin cậy trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn

5. Kiểm nghiệm giả thuyết về trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn

...

...

...

Phụ lục A (tham khảo) Các ví dụ

Phụ lục B (quy định) Các bảng số

Phụ lục C (quy định) Các tập đường

Phụ lục D (tham khảo) So sánh hai trung bình trong trường hợp các quan trắc được ghép thành cặp