- Nếu P = OE và Q = OE,
|
thì f(P,Q,R) = 1F;
|
- ngược lại, nếu P = OE,
|
thì f(P,Q,R) = xR - xQ;
|
- ngược lại, nếu Q = OE,
|
thì f(P,Q,R) = xR - xP;
|
- ngược lại, nếu xP ≠
xQ,
|
thì f(P, Q, R) = (xQ -
xP)yR - (yQ - yP)xR -
xQyP + xPyQ;
|
- ngược lại, nếu yP ≠ yQ,
|
thì f(P,Q,R) = xR - xP;
|
- ngược lại, nếu b = 0F
và xP = yP = xQ = yQ = 0F,
|
thì f(P, Q, R) = xR;
|
- ngược lại,
|
thì f(P,Q,R) = (-3xp2
- a)(xR - xP) + 2yP(yR-yP)
= -(yR - yP)2 + (xR - xP)2(2xP
+ xR).
|
Đối với một đường cong elliptic E
trên F(2m) có phương trình Y2 + XY = X3
+ aX2 + b:
- Nếu P = OE và Q = OE,
thì f(P,Q,R) = 1F;
- ngược lại, nếu P = OE,
thì f(P,Q,R) = xR + xQ;
- ngược lại, nếu Q = OE,
thì f(P,Q,R) = xR + xP;
- ngược lại, nếu xP ≠
xQ,
thì f(P, Q, R) = (xQ +
xP)yR + (yQ + yP)xR +
xQyP + xPyQ;
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
thì f(P,Q,R) = xR + xP;
- ngược lại, nếu xP = xQ
= 0F và yP = yQ = √b
thì f(P, Q, R) = xR;
- ngược lại,
thì f(P, Q, R) = (yP +
xP2)(xR + xP) + xP(yR
+ yP) = (yR + yP)2 + (xR
+ xP)[yR + yP + (xR + xP)(a
+ xR)].
Đối với một đường cong elliptic E
trên F(3m) có phương trình Y2 = X3
+ aX2 + b:
- Nếu P = OE và Q = OE,
thì f(P,Q,R) = 1F;
- ngược lại, nếu P = OE,
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
- ngược lại, nếu Q = OE,
thì f(P,Q,R) = xR - xP;
- ngược lại, nếu xP ≠ xQ,
thì f(P,Q,R) = (xQ - xP)yR
- (yQ - yP)xR - xQyP +
xPyQ;
- ngược lại, nếu yP ≠ y0,
thì f(P,Q,R) = xR - xP;
- ngược lại, nếu b = 0F và xP
= yP = xQ = yQ = 0F
thì f(P,Q,R) = xR;
- ngược lại,
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
Hàm g(P, Q ,P) định nghĩa với
P, Q, R ϵ E(F(qB)) là g(P, Q, R) = f(P, Q, P) / (P
+ Q, -P
-
Q, R).
Hàm dn(P, Q) cho hai
điểm P và Q trên E với cấp n > 2 được tính toán
sử dụng thuật toán sau đây.
a) Cho n = nl-12l-1
+ ... + n12 + n0 (nl-1 ≠ 0) là một biểu diễn
nhị phân, trong đó ni = 0,1.
b) Đặt Y := P, h := 1.
c) Với i = l - 2 đến 0, thực
hiện:
1) h := h2 ∙ g(Y, Y,
Q),Y := 2Y;
2) Nếu ni ≠ 0, thì
h := h ∙ g(Y, Y, Q);
Y := Y + P.
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
C.6.2 Thuật toán để tính phép ghép cặp
Weil
Cho G1 và G2
là hai điểm trên E với nG1 = nG2 = OE. Phép ghép cặp
Weil en(G1, G2) được tính toán theo các
bước sau:
a) Chọn ngẫu nhiên một điểm R
trên E sao cho OE, G2,
R, G1 + R đều khác nhau.
b) Tính en(G1,
G2) = [dn(G2, R)dn(G1, G2
- R)] / [dn(G2, G1 + R)dn(G1, -R)].
c) Nếu xuất hiện phép chia cho 0 trong
quá trình tính toán ở trên, thì bắt đầu lại với một điểm R mới.
C.6.3 Thuật toán để tính phép ghép cặp
Tate
Cho G1 và G2
là hai điểm trên E với nG1 = nG2 = OE. Cặp Tate en(G1,
G2) được tính toán theo các bước sau:
a) Chọn ngẫu nhiên một điểm R
trên E.
b) Tính en(G1, G2)
= dn(G1,
G2 - R) / dn(G1, -R).
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
C.7 Phê chuẩn tham số miền đường cong
elliptic và khóa công khai (tùy chọn)
C.7.1 Giới thiệu chung
Trong C.7.1 mô tả các tham số miền đường
cong elliptic và cách thức kiểm tra các tham số này. Một tập hợp các tham số miền
cụ thể có thể được các bên liên quan thỏa thuận để sử dụng cho một mục đích hoặc
cho nhiều mục đích.
Nếu một tập hợp các tham số miền ứng
viên là không hợp lệ, thì tất cả các giả thiết về độ an toàn sẽ được giả định
là vô hiệu, bao gồm độ an toàn dự kiến cho mọi hoạt động mật mã tùy ý và tính
bí mật của khóa riêng. Do đó, trước khi sử dụng một tập hợp các tham số miền ứng
viên, người dùng phải đảm bảo rằng nó là hợp lệ. Đảm bảo này có thể đạt được
vì:
- Các tham số miền được sinh bởi người
dùng hoặc cho người dùng bởi bên thứ ba đáng tin cậy, hoặc
- Các tham số miền đã được người dùng
hoặc bên thứ ba đáng tin cậy kiểm tra kỹ lưỡng.
C.7.2 Phê chuẩn
tham số miền đường cong elliptic trên F(q)
Các điều kiện sau đây phải được người
dùng các tham số đường cong
elliptic kiểm tra.
a) Kiểm tra q là một lũy thừa của
một số nguyên tố, pm.
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
c) Kiểm tra 4a3 + 27b2
≠ 0 nếu q = pm với p > 3, b ≠ 0 nếu q
= 2m, và a, b ≠ 0 nếu q = 3m.
d) Nếu đường cong elliptic được sinh
giả ngẫu nhiên, kiểm tra rằng a và b được dẫn xuất từ MẦM.
e) Nếu q = pm với p
> 3, kiểm tra trong
F(q). Nếu q = 2m, kiểm tra trong F(2m).
Nếu q = 3m, kiểm tra
trong F(3m).
f) Kiểm tra n là số nguyên tố
và n > 4√q.
LƯU Ý: n là tham số
an toàn chính. Các giới
hạn cụ thể có trong mô tả của các thuật toán.
g) Kiểm tra nG = OE.
h) Tính h' = [( + 1)2 / n] và kiểm
tra h = h'.
i) Kiểm tra danh sách để loại trừ các
đường cong yếu đã biết:
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
- Kiểm tra đường cong không phải là đường
cong bất quy tắc, tức là #E(F(q)) ≠ q.
Nếu bất kỳ bước kiểm tra nào ở trên
không thành công, thì tham số miền được coi là không hợp lệ.
C.7.3 Phê chuẩn khóa công khai (tùy
chọn)
Cho trước một tập hợp các tham số miền
đường cong elliptic hợp lệ và một khóa công khai được xác nhận có liên quan Q
với các tọa độ nhất định và một cấp nhất định, khóa công khai được phê chuẩn
như sau:
a) Kiểm tra Q không phải là điểm tại vô
hạn OE.
b) Kiểm tra xQ và yQ
là các phần tử trong trường F(q), trong đó xQ và yQ
là tọa độ x và y của Q tương ứng.
c) Nếu q = pm với p
> 3, kiểm tra trong
F(q). Nếu q = 2m, kiểm tra hoặc trong F(2m). Nếu q = 3m,
kiểm tra hoặc trong F(3m).
d) Kiểm tra nQ = OE.
Nếu bất kỳ bước kiểm tra nào ở trên
không thành công, thì khóa công khai được coi là không hợp lệ.
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
- Khóa công khai được người dùng phê
chuẩn một cách rõ ràng,
- Khóa công khai được phê chuẩn một
cách rõ ràng bởi TTP cho người dùng,
- Người dùng chấp nhận rủi ro khi sử dụng
khóa công khai không được phê chuẩn,
LƯU Ý 1: Điều này bao gồm một phân
tích cho thấy tiềm năng an toàn bị hạn chế trong ứng dụng cụ thể. Việc chấp nhận
rủi ro đó có thể phù hợp với khóa công khai tức thời hơn so với khóa công khai
dài hạn. Lưu ý rằng việc thực hiện phê chuẩn khóa công khai EC là một mặc định
an toàn, vì không có hậu quả an toàn tiêu cực tiềm ẩn nào khi thực hiện.
- Một khóa công khai không được kiểm
tra có thể được sử dụng trong các điều kiện khóa được sinh hoặc xác nhận tính hợp
lệ một cách rõ ràng bởi một thực thể được người dùng tin cậy trong suốt vòng đời
của khóa.
LƯU Ý 2: Phê chuẩn khóa công khai
không đảm bảo rằng chủ sở hữu đã xác nhận quyền sở hữu khóa riêng là chủ sở hữu
thực sự của khóa.
Phụ
lục D
(tham
khảo)
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
Các tính chất của các hệ tọa độ khác
nhau được tổng hợp lại. Trong trường hợp E(F(q)) với p > 3, có
năm hệ tọa độ, tọa độ affine, tọa độ xạ ảnh, tọa độ Jacobi, tọa độ Jacobi sửa đổi
và tọa độ hỗn hợp. Trong các trường hợp của F(F(2m)) và F(F(3m)),
có hai hệ tọa độ, tọa độ affine và tọa độ xạ ảnh.
Ký hiệu tọa độ affine, tọa độ xạ ảnh,
tọa độ Jacobi và tọa độ Jacobi sửa đổi bằng A, P, J và Jm;
thời gian cho phép cộng hai điểm theo tọa độ C1 và C2
cho kết quả trong tọa độ C3 là t(C1 + C2
= C3); thời gian cho phép nhân đôi một điểm theo tọa độ C1
cho kết quả trong tọa độ C2 là t(2C1 = C2);
và phép nhân (tương ứng, nghịch đảo, tương ứng, bình phương) trong F(q)
bằng M (tương ứng, I, tương ứng, Sq). Bảng D.1
tổng hợp các tọa độ của E(F(q) với p > 3. Bảng D.2 tổng hợp
các tọa độ của F(F(2m)). Bảng D.3 tổng hợp các tọa độ của E(F(3m)).
Bảng D.1 - Tổng
hợp các tọa độ của E(F(q)) với p > 3
Phép nhân
đôi điểm
Phép cộng
điểm
Hoạt động
Thời gian
tính toán
Hoạt động
Thời gian
tính toán
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
7M + 5Sq
t(Jm
+ Jm)
13 M + 6Sq
t(2J)
4M + 6Sq
t(J + J)
12M + 4Sq
t(2Jm)
7M + 5Sq
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
12M + 2Sq
t(2Jm =
J)
7M + 5Sq
t(J + A = Jm)
9M + 5Sq
t(2A = Jm)
3M + 4Sq
t(Jm
+ A = Jm)
9M + 5Sq
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
2M + 4Sq
t(J + A = J)
8M + 3Sq
-
-
t(Jm
+ A
=
J)
8M + 3Sq
-
-
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
5M + 4Sq
t(2A)
2M + 2Sq + I
t(A + A)
2M + Sq
+ I
Bảng D.2 - Tổng
hợp các tọa độ của E(F(2m))
Phép nhân
đôi điểm
Phép cộng
điểm
Hoạt động
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
Hoạt động
Thời gian
tính toán
t(2P)
7M + 5Sq
t(P + P)
16M + 2Sq
t(2A)
2M + Sq
+ 1
t(A + A)
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
Bảng D.3 - Tổng
hợp các tọa độ của E(F(3m))
Phép nhân
đôi điểm
Phép cộng
điểm
Hoạt động
Thời gian
tính toán
Hoạt động
Thời gian
tính toán
t(2P)
9M + 3Sq
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
15M + 2Sq
t(2A)
3M + Sq + I
t(A + A)
2M + Sq + I
Thư mục tài
liệu tham khảo
[1] ANSI X9.62-2005, Public Key
Cryptography for the Financial Services Industry: The Elliptic Curve Digital
Signature Algorithm (ECDSA)
[2] ANSI X9.63-2001, Public Key
Cryptography for the Financial Services Industry: Key Agreement and Key Transport
Using Elliptic Curve Cryptography
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
[4] AVANZI R., COHEN H., DOCHE C., FREY G.,
LANGE T., NGUYEN K. Handbook of Elliptic and Hyperelliptic Curve Cryptography.
Chapman & Hall/CRC, 2005
[5] COHEN H. "A course in
computational algebraic number theory", Graduate Texts in Math. 138,
Springer-Verlag, 1993, Fourth printing, 2000
[6] COHEN H.,
MIYAJI A., ONO T. "Efficient elliptic curve exponentiation using mixed
coordinates", Advances in Cryptology -Proceedings of ASIACRYPT'98,
Lecture Notes in Computer Science, 1514 (1998), Springer-Verlag, 51-65
[7] FREY G., & RUCK H.G. A remark
concerning m-divisibility and the discrete logarithm in the divisor class group
of curves. Math. Comput. 1994, 62 pp. 865-874
[8] KILLMANN W., LANGE T., LOCHTER M.,
THUMSER W., WICKE G. "Minimum Requirements for Evaluating Side-Channel
Attack Resistance of Elliptic Curve Implementations", version 1.0.4
Federal Office for Information Security, 2011
[9] PETER L. Montgomery, "Speeding
up the Pollard and elliptic curve methods offactorization",
Mathematics of Computation. Fundamentals. 1987, 48 (177) pp. 243-264
[10] MENEZES A.,
OKAMOTO T., VANSTONE S. "Reducing
elliptic curve logarithms to logarithms in a finite field", Proc.
twenty-third Annual ACM Symposium on the Theory of Computing (1991), 80-89
[11] MAMIYA H., MIYAJI A., MORIMOTO H.
"Secure elliptic curve exponentiation against RPA, ZRA, DPA, and
SPA", IEICE Trans. Fundamentals. 2006, 89-A (8) pp. 2207-2215
[12] SATOH T.,
& ARAKI K. Fermat quotients and the polynomial time discrete log algorithm
for anomalous elliptic curves. Commentarii Math. Univ. St. Pauli. 1998, 47
pp. 81-92
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
[14] SMART N.P.
The discrete logarithm problem on elliptic curves of trace one.J.
Cryptol. 1999, 12 pp. 193-196
[15] WASHINGTON L.C. Elliptic Curves:
Number Theory and Cryptography. Chapman & Hall/CRC, 2003
[16] WATERHOUSE W. “Abelian
varieties over finite fields”, Ann. scient. Éc. Norm. Sup. 1969, 2
pp. 521-560
[17] GOUNDAR R., JOYE M., MIYAJI A.,
RIVAIN M., VENELLI A. "Scalar multiplication on weierstrass elliptic
curves from Co-Z arithmetic”, Journal of
Cryptographic Engineering, vol. 1 (2011), Springer-Verlag, 161-176
MỤC LỤC
Lời nói đầu
1 Phạm vi áp dụng
2 Tài liệu viện dẫn
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
4 Các ký hiệu
5 Quy ước cho các trường
5.1 Trường nguyên tố hữu hạn F(p)
5.2 Các trường hữu hạn F(pm)
6 Các quy ước
trên đường cong elliptic
6.1 Định nghĩa
các đường cong elliptic
6.2 Luật nhóm
trên các đường cong elliptic
6.3 Sinh các đường cong elliptic
6.4 Ánh xạ song tuyến tính mật mã
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
7.1 Chuyển đổi xâu bộ tám/xâu bit:
OS2BSP và BS2OSP
7.2 Chuyển đổi xâu bit/số nguyên: BS2IP
và I2BSP
7.3 Chuyển đổi xâu bộ tám/số nguyên: OS2IP
và I2OSP
7.4 Chuyển đổi phần tử trên trường hữu
hạn/số nguyên: FE2IPF
7.5 Chuyển đổi xâu bộ tám/phần tử của
trường hữu hạn: OS2FEPF và FE2OSPF
7.6 Chuyển đổi điểm đường cong
elliptic/xâu bộ tám: EC2OSPE và OS2ECPE
7.7 Chuyển đổi số
nguyên/đường cong elliptic: I2ECP
8 Các tham số miền đường cong
Elliptic và khóa công khai
8.1 Các tham số miền đường
cong elliptic trên F(q)
...
...
...
Bạn phải
đăng nhập hoặc
đăng ký Thành Viên
TVPL Pro để sử dụng được đầy đủ các tiện ích gia tăng liên quan đến nội dung TCVN.
Mọi chi tiết xin liên hệ:
ĐT: (028) 3930 3279 DĐ: 0906 22 99 66
Phụ lục A (tham khảo) Kiến thức cơ bản
về các trường hữu hạn
Phụ lục B (tham khảo) Kiến thức cơ bản
về các đường cong elliptic
Phụ lục C (tham khảo) Kiến thức cơ bản
về các hệ mật trên đường cong elliptic
Phụ lục D (tham khảo) Tổng hợp các hệ
tọa độ
Thư mục tài liệu tham khảo