Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 7075:2002 về Biểu đồ kiểm soát trung bình với các giới hạn cảnh báo

Bảng 2 - Các giá trị độ dài loạt trung bình (ARL) đối với B₁ = 3 (quy tắc một phía)

ARL đối với B₁ = 3 và B₂

K = 2

K = 3

K = 4

B₂

B₂

B₂

...

...

...

1,25

1,5

1,75

2,0

1,0

1,25

1,5

1,75

2,0

...

...

...

1,25

1,5

1,75

2,0

0,0

43,8

83,5

186,1

346,2

...

...

...

215,1

422,5

620,1

711,0

734,6

535,4

624,1

730,9

738,3

...

...

...

0,2

25,7

48,1

92,7

151,0

275,2

101,3

194,0

301,7

...

...

...

385,9

245,4

341,6

380,6

389,6

391,0

0,4

16,1

27,9

...

...

...

89,6

141,9

51,8

95,6

159,4

192,1

210,5

117,1

174,6

...

...

...

212,4

214,2

0,6

10,8

17,2

26,4

39,8

76,0

28,6

...

...

...

78,4

87,7

115,9

59,5

89,7

111,0

117,6

121,9

0,8

...

...

...

11,3

17,7

28,4

43,0

19,2

28,1

43,1

55,2

66,9

...

...

...

48,8

62,3

69,4

71,4

1,0

5,6

7,9

11,6

17,4

...

...

...

11,6

17,1

25,0

33,7

39,9

19,5

40,3

36,3

41,3

...

...

...

1,2

4,2

5,8

8,0

11,4

16,1

7,7

11,2

14,9

...

...

...

24,7

11,9

17,1

22,0

25,6

27,2

1,4

3,6

4,5

...

...

...

7,8

11,2

6,0

7,8

10,3

13,2

15,8

8,7

11,2

...

...

...

16,4

17,6

1,6

3,0

3,5

4,4

5,7

7,4

4,7

...

...

...

7,2

8,9

10,6

6,5

7,8

9,4

10,9

11,3

1,8

...

...

...

2,9

3,5

4,7

5,4

3,9

4,5

5,3

6,8

7,4

...

...

...

5,8

6,7

7,9

8,3

2,0

2,3

2,5

2,9

3,4

...

...

...

3,4

3,6

4,1

4,7

5,4

4,0

4,5

5,0

5,5

...

...

...

2,2

2,1

2,2

2,5

2,8

3,2

2,8

2,8

3,3

...

...

...

4,1

3,4

3,6

3,9

4,2

4,5

2,4

1,9

2,0

...

...

...

2,4

2,6

2,5

2,6

2,8

3,0

3,2

2,9

3,0

...

...

...

3,3

3,5

2,6

1,7

1,8

1,9

2,0

2,2

2,2

...

...

...

2,3

2,5

2,6

2,5

2,5

2,7

2,7

2,8

2,8

...

...

...

1,7

1,8

1,8

1,9

2,0

2,1

2,1

2,1

2,2

...

...

...

2,3

2,3

2,3

2,4

3,0

1,5

1,6

1,6

1,6

...

...

...

1,8

1,8

1,8

1,9

1,9

1,9

1,9

1,7

1,9

...

...

...

3,2

1,4

1,4

1,4

1,5

1,5

1,6

1,6

1,6

...

...

...

1,7

1,6

1,6

1,6

1,6

1,7

3,4

1,3

1,3

...

...

...

1,4

1,4

1,5

1,5

1,5

1,5

1,5

1,5

1,5

...

...

...

1,5

1,5

3,6

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

1,3

...

...

...

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

3,8

...

...

...

1,2

1,2

1,2

1,2

1,2

1,3

1,3

1,3

1,3

...

...

...

1,3

1,3

1,3

1,3

Bảng 3 - Các giá trị độ dài loạt trung bình (ARL) đối với B₁ = 3,25 (quy tắc một phía)

ARL đối với B₁ = 3,25 và B₂

K = 2

K= 3

...

...

...

B₂

B₂

B₂

1,0

1,25

1,5

1,75

2,0

1,0

...

...

...

1,5

1,75

2,0

1,0

1,25

1,5

1,75

2,0

0,0

...

...

...

94,7

212,0

481,5

987,8

448,7

618,6

1176,0

1567,8

1698,7

...

...

...

1454,7

1675,9

1720,8

1730,4

0,2

26,4

50,7

105,3

223,3

...

...

...

116,2

263,9

469,5

744,9

843,6

369,7

653,0

819,6

864,3

...

...

...

0,4

16,6

29,2

55,6

110,2

207,6

58,0

121,2

230,3

...

...

...

430,2

161,3

299,9

392,2

446,9

455,8

0,6

11,0

18,0

...

...

...

58,4

105,3

32,1

60,7

112,3

178,9

225,1

99,5

140,1

...

...

...

216,4

235,7

0,8

7,8

11,8

19,3

30,2

56,5

19,3

...

...

...

58,1

92,1

117,2

40,3

69,9

104,2

118,1

133,2

1,0

...

...

...

8,2

12,5

20,0

32,3

12,6

19,8

32,2

49,8

67,1

...

...

...

37,5

56,2

71,4

95,1

1,4

3,7

4,7

6,2

6,7

...

...

...

6,6

8,8

12,4

17,4

23,2

10,1

13,9

19,2

24,7

...

...

...

1,6

3,3

3,7

4,7

6,3

8,6

5,1

6,5

8,5

...

...

...

14,7

7,4

9,5

12,4

15,6

18,2

1,9

2,7

3,1

...

...

...

4,7

6,1

4,2

4,9

6,2

7,8

9,8

5,7

6,9

...

...

...

10,4

12,0

2,0

2,4

2,7

3,1

3,7

4,5

3,5

...

...

...

4,7

5,5

6,6

4,6

5,2

6,0

6,9

7,9

2,2

...

...

...

2,4

2,6

3,1

3,6

3,1

3,4

3,8

4,4

5,1

...

...

...

4,3

4,8

5,4

6,0

2,4

2,0

2,1

2,3

2,6

...

...

...

2,7

2,9

3,2

3,5

3,9

3,3

3,5

3,8

4,1

...

...

...

2,6

1,9

1,9

2,1

2,2

2,5

2,4

2,5

2,7

...

...

...

3,1

2,9

3,0

3,1

3,3

3,5

2,8

1,9

1,8

...

...

...

2,0

2,1

2,2

2,3

2,3

2,5

2,6

2,5

2,6

...

...

...

2,7

2,8

3,0

1,6

1,7

1,7

1,8

1,9

2,0

...

...

...

2,1

2,1

2,2

2,2

2,2

2,3

2,3

2,4

3,2

...

...

...

1,6

1,6

1,6

1,8

1,8

1,8

1,8

1,9

1,9

...

...

...

1,9

2,0

2,0

2,0

3,4

1,4

1,4

1,5

1,5

...

...

...

1,6

1,6

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

1,7

...

...

...

3,6

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,5

1,5

1,5

...

...

...

1,5

1,5

1,5

1,5

1,6

1,6

3,8

1,3

1,3

...

...

...

1,3

1,3

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

1,4

...

...

...

1,4

1,4

Bảng 4 - Các giá trị độ dài loạt trung bình (ARL) (quy tắc hai phía)

B₁

ARL đối với B₂

K = 2

K = 3

K = 4

...

...

...

B₂

B₂

1,0

1,25

1,5

1,75

2,0

1,0

1,25

...

...

...

1,75

2,0

1,0

1,25

1,5

1,75

2,0

2,75

0,0

...

...

...

39,9

73,4

116,4

148,7

80,9

126,5

155,1

165,3

167,2

...

...

...

162,3

166,8

167,5

167,7

0,2

18,6

33,0

61,0

95,2

...

...

...

65,8

100,0

126,6

140,8

142,9

117,6

131,6

142,9

143,0

...

...

...

0,4

13,9

23,5

39,7

61,7

81,3

40,3

63,3

82,6

...

...

...

97,4

65,8

89,3

96,2

98,0

98,1

0,6

10,0

15,6

...

...

...

31,7

49,5

24,3

36,9

49,5

54,6

60,9

40,2

53,2

...

...

...

61,3

61,8

0,8

7,2

10,4

14,9

22,6

30,1

15,2

...

...

...

29,5

35,0

37,7

24,3

31,6

36,5

38,2

38,8

3,0

...

...

...

21,9

41,7

93,0

173,1

278,0

107,5

211,2

310,0

355,5

...

...

...

267,7

312,0

325,4

329,1

329,7

0,2

19,5

37,9

75,2

...

...

...

222,6

84,0

159,9

243,9

294,1

303,0

201,0

277,8

303,0

...

...

...

307,0

0,4

14,6

26,0

47,8

85,5

134,2

49,7

91,7

...

...

...

181,8

198,0

113,1

166,7

192,3

200,0

201,3

0,6

10,5

...

...

...

26,0

39,4

75,3

28,2

49,3

77,2

86,2

113,3

58,5

...

...

...

108,7

114,9

119,0

0,8

8,0

11,2

17,6

28,3

42,8

...

...

...

28,0

42,9

54,9

66,5

35,3

48,5

61,9

68,9

70,9

...

...

...

0,0

22,5

47,3

106,0

240,7

493,9

224,3

309,3

588,0

...

...

...

849,3

452,4

727,3

837,9

860,4

865,2

0,2

20,0

40,0

...

...

...

184,5

357,1

98,0

222,2

395,4

609,0

673,4

312,5

555,5

...

...

...

686,3

692,0

0,4

15,1

27,7

52,9

106,2

200,8

56,5

...

...

...

225,1

347,8

416,7

158,7

294,1

377,8

427,9

434,8

0,6

...

...

...

17,6

31,3

58,0

104,0

31,8

60,2

111,1

175,4

220,2

...

...

...

138,9

200,5

212,8

230,3

0,8

7,7

11,7

19,3

30,2

...

...

...

19,3

33,3

58,1

92,1

117,2

40,3

69,9

104,2

118,1

...

...

...

Phụ lục A

(quy định)

Xác định giá trị trung bình không mong muốn dựa trên tỷ lệ sản phẩm không phù hợp

A.1  Quy tắc một phía

Độ lệch trên của trung bình quá trình sẽ được kiểm soát. Giới hạn cho phép trên T₊ của biến X đã cho. Trong trường hợp này tỷ lệ không phù hợp đối với quá trình được kiểm soát, q₀ cho bởi công thức

... (A.1)

Tỷ lệ không phù hợp đối với quá trình không được kiểm soát, q₁, cho bởi công thức

...

...

...

... (A.2)

trong đó Φ là hàm phân bố chuẩn tiêu chuẩn

Do đó nếu T₊ và q₁ đã biết, μ₁ có thể được xác định theo công thức

... (A.3)

trong đó Z là phân vị (1- q₁) của phân bố chuẩn tiêu chuẩn.

Tương tự, nếu độ lệch dưới được kiểm soát và dung sai dưới T_- đã cho khi đó

... (A.4)

...

...

...

... (A.5)

... (A.6)

trong đó q₀ và q₁ được xác định như trên

A.2  Kiểm soát hai phía

Đây chính là trường hợp khi T₊ - μ₀ = μ₀ - T_-. Sử dụng các kí hiệu trên, nhận được

... (A.7)

...

...

...

Do thông thường

nên

có thể bỏ qua. Vậy μ₁ và μ_-1 được xác định bởi công thức (A.3) và (A.6) tương ứng

Phụ lục B

(tham khảo)

Ví dụ áp dụng tiêu chuẩn

...

...

...

Các giới hạn đối với nồng độ nitơ được cho là

T₊ = 27,5 %        T_- = 22,5 %

Mức không phù hợp không mong muốn cao là 3 %

Trên cơ sở kinh nghiệm trước, được biết rằng σ = 1 %

Giá trị μ₁ và μ_-1được xác định theo công thức (A.3) và (A.6):

μ₁ = 27,50 % - 1 % x Z_0,97 = 27,50 % - 1,88 % = 25,62 %

μ_-1 = 22,50 % + 1,88 % = 24,38 %

B.2  Với các điều kiện đã cho trong B.1, số phép đo trong mẫu được lấy là n = 5. Các đường thẳng kiểm soát trong biểu đồ kiểm soát phải được vẽ sao cho độ dài loạt trung bình (ARL) đối với quá trình được kiểm soát tối thiểu là 300 và độ dài loạt trung bình đối với quá trình ở mức không mong muốn cao sẽ không vượt quá 12

Ta có

...

...

...

và

Tổ hợp của B₁, B₂ và K được tìm thấy từ các bảng 1 đến 4 (nội suy đối với  = 1,39) sao cho L₀ ≥ 300 và L₁ ≤ 12 (xem bảng 4), tức là L₀ ≥ 600 và L₁ ≤ 12 nếu dùng các bảng 1,2,3 (xem C.3)

Các kết quả được cho trong dạng bảng như sau:

STT

K

B₁

B₂

L₀

...

...

...

1

3

3,0

1,5

620,1

10,3

2

4

3,0

...

...

...

624,1

11,2

3

3

3,25

1,25

618,6

8,8

4

...

...

...

3,25

1,0

904,0

10,1

Các điều kiện được đặt ra đã xác định và cho bốn phương án có thể. Theo 7.4.1 (vì tỷ số L₀/L₁ ≥ 50), phương án cho giá trị L₁ nhỏ nhất sẽ được chọn, tức là phương án 3

Ta có: K = 3 ;             B₁ = 3,25 ;                    B₂= 1,25

Theo điều 5, các giới hạn hành động là:

...

...

...

B.3  Với các điều kiện được chỉ rõ trong B.1 và B.2 nhận được các giá trị trung bình của các mẫu kế tiếp sau: 25,1 % ; 25,2 % ; 24,2 % ; 25,6 % 24,1 % ; 24,3 % ; 25,0 % ; 25,3 % ; 25,9 % ; 24,7 % ; 25,1 % ; 25,3 % ; 24,9 % ; 25,4 % ; 24,8 % ; 24,7 % ; 25,9 % ; 25,6 % ; 25,7 % (xem hình B.1)

Sau mẫu thứ 19 đưa ra được quyết định điều chỉnh quá trình bởi vì ba điểm cuối (25,9; 25,6; 25,7) đã xảy ra trong vùng W₊ giữa giới hạn cảnh báo và giới hạn hành động.

Để làm rõ hơn cần phải để ý tới hai điểm sát cạnh nhau: 24,1 và 24,3 được tìm thấy trong vùng W_-, nhưng đã không điều chỉnh bởi vì theo quy tắc được chấp nhận thì cần phải có ba điểm kế tiếp. Cuối cùng phải điều chỉnh ngay nếu giá trị đơn lẻ lớn hơn 26,45 hoặc nhỏ hơn 23,55

Chú thích 1 - Các giới hạn 3σ được chỉ ra bằng các đường gạch đứt quãng trong hình B.1. Như đã thấy từ hình này, biểu đồ Shewhart không cho tín hiệu điều chỉnh quá trình trong trường hợp này.

B.4  Đối với σ, μ₁, μ₀ và μ_-1 được cho ở trên và các điều kiện này áp đặt đối với L₀ và L₁ phải tìm phương án kiểm soát có cỡ mẫu n nhỏ nhất. Từ các cột tương ứng với L₀ ≥ 600 giá trị nhỏ nhất tìm thấy trong tất cả , có L₁ ≤ 12 là 1,4 (ví dụ phương án với B₁= 3,0 B₂= 1,5 ; K = 3; cho L₁ = 10,3, còn phương án với B₁ = 3,25 ; B₂ = 1,25; K = 3 cho L₁ = 8,8)

Do đó:

...

...

...

Hình B.1 - Ví dụ áp dụng

Phụ lục C

(tham khảo)

Nguyên lý của tiêu chuẩn

C.1  Khái quát

Các biểu đồ kiểm soát chỉ nêu ra các giới hạn hành động không luôn đủ nhạy khi có sự không bình thường của quá trình. Độ dài loạt trung bình (ARL), tức là số trung bình các mẫu, mà sau đó quyết định về sự điều chỉnh được thực hiện, được xem như là chuẩn mực của độ nhạy của biểu đồ kiểm soát đối với sự dịch chuyển của quá trình. Nếu quá trình ở trong vùng kiểm soát thì quyết định như thế là sai lầm và độ dài loạt trung bình L₀ cần càng lớn càng tốt. Nếu quá trình ở ngoài vùng kiểm soát, khi đó cần có quyết định điều chỉnh ngay sau khi có tình trạng không bình thường càng sớm càng tốt. Trường hợp này độ dài loạt trung bình L₁ càng nhỏ càng tốt.

Ngoài các giới hạn hành động, các giới hạn cảnh báo sẽ cải tiến độ nhạy của biểu đồ kiểm soát đối với tình trạng không bình thường của quá trình được kiểm soát.

...

...

...

Trong hình C.1 đường liền nét chỉ ra các giá trị của ARL đối với biểu đồ kiểm soát một phía với các nhóm chất lượng được xác định bởi điều kiện B₁ = 3,00; B₂ = 1,75; K = 2 (xem bảng 2). Đường gạch chỉ ra các giá trị của ARL đối với biểu đồ Shewhart một phía với các giới hạn được chọn sao cho nó cho cùng giá trị L₀ = 346,2 như biểu đồ đầu tiên (các giới hạn này sẽ là  từ đường thẳng trung tâm).

Ví dụ được cho đối với quy tắc một phía. Đối với quy tắc hai phía các đường cong được xây dựng theo cách tương tự (xem 7.2.3).

C.2  Công thức đối với ARL khi kiểm soát một phía

Một điểm trong biểu đồ kiểm soát có thể rơi vào vùng T với xác suất p, và vào vùng A với xác suất 1-p- q, trong đó các xác suất p và q (xem hình 2) được cho bởi các công thức

 ... (C.1)

 ... (C.2)

trong đó

và δ= 0 đối với quá trình được kiểm soát

...

...

...

 … (C.3)

Khi K = 2, để thuận tiện công thức (C.3) được dùng dưới dạng sau

 ... (C.4)

Các bảng 1,2,3 được tính toán theo các công thức này.

C.3  Công thức đối với ARL trong kiểm soát hai phía

Đối với kiểm soát hai phía, công thức (C.3) trở thành (khi K =2):

trong đó

q₁, q₂ là xác suất rơi vào trong vùng W₊ và W_- tương ứng;

...

...

...

Rõ ràng: p' = 2p -1, trong đó p được xác định trong công thức (C.1)

Khi  = 0 thì q₁ = q₂ = q và công thức (C.5) có dạng sau:

...(C.6)

Khi  ≠ 0, giá trị nhỏ hơn trong các xác suất q₁ và q₂ (chẳng hạn q₂) trở thành đủ nhỏ và có thể bỏ qua.

Do đó đối với các giá trị nhỏ của  (0,2; 0,4) cần lưu ý sự khác nhau giữa ARL của một phía và hai phía và khi  ≥ 0,6 nó trở nên đủ nhỏ để bỏ qua (xem bảng C.1)

Bảng C.1 - ARL đối với các trường hợp một phía và hai phía B₁ = 3, B₂ = 2 và K =2

Trường hợp hai phía

...

...

...

0,0

278,0

556,0

0,2

222,6

275,2

0,4

134,2

141,9

...

...

...

75,3

76,0

0,8

42,8

43,0

1,0

25,5

25,5

Khi đó nếu q₁ = q; q₂ = 0, công thức (C.5) trở thành công thức (C.4), tức là ARL đối với quá trình ngoài sự kiểm soát sẽ giống như ARL trong trường hợp 1 phía

...

...

...

Điều đó có thể được giải thích một cách dễ dàng. Chẳng hạn nếu tình trạng không bình thường là do tăng giá trị trung bình khi đó khả năng vượt qua giới hạn cảnh báo dưới có thể được bỏ qua đối với kiểm soát một phía.

Các công thức (C.6) và (C.7) cũng đúng đối với K = 3 và K = 4.

Sự xem xét này lập nên có sở của 7.2.3 và bảng 4.

C.4  Sự liên quan với lý thuyết xích Markov

Cần nhận xét rằng các công thức (C.3), (C.4) và (C.5) có thể dễ dàng rút ra từ lý thuyết xích Markov. Như thế, khi xem xét biểu đồ một phía với K = 2, cần xét xích với ba trạng thái.

a) điểm trong vùng T;

b) điểm trong vùng W, trong khi điểm trước trong vùng T;

c) điểm trong vùng A hoặc trong vùng W cùng với điểm trước

...

...

...

Hình C.1 - So sánh ARL như là hàm số của giá trị của tình trạng không bình thường đối với biểu đồ kiểm soát nguyên bản (đường gạch) và biểu đồ kiểm soát với các giới hạn cảnh báo (đường liền)

Phụ lục D

(tham khảo)

Tài liệu tham khảo

[1] TCVN 7073: 2002 (ISO 7870: 1993), Biểu đồ kiểm soát - Giới thiệu và hướng dẫn chung

[2] TCVN 7074: 2002 (ISO 7966: 1993), Biểu đồ kiểm soát chấp nhận

[3] TCVN 7076: 2002 (ISO 8258: 1991), Biểu đồ kiểm soát Shewhart.