Tiêu chuẩn quốc gia TCVN 4552:2009 về Thống kê ứng dụng - Ước lượng, khoảng tin cậy và kiểm nghiệm giả thuyết

• Số hiệu: TCVN4552:2009
• Loại văn bản: Tiêu chuẩn Việt Nam
• Nơi ban hành: ***
• Người ký: ***
• Ngày ban hành: Năm 2009

iii/

l = s1 / s2 nếu s1 < s2 l = s1 / s2 nếu s1 > s2

(1 < l < ¥)

6.4.1. Giải bài toán a): Cho trước n₁ = n₂ = n, xác định sai lầm loại hai b

Tra tập đường:

– 11.1 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,05,

– 12.1 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,01,

– 13.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05,

– 14.1 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01.

b là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường (n).

6.4.1. Giải bài toán b): Cho trước b, xác định cỡ mẫu chung n

Tra tập đường:

...

...

...

– 12.2 nếu là trường hợp i) hoặc ii) và a = 0,01,

– 13.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,05,

– 14.2 nếu là trường hợp iii) và a = 0,01.

n là tung độ của điểm có hoành độ l trên đường ứng với giá trị b đã cho.

PHỤ LỤC A

(tham khảo)

Các ví dụ

A.1. Ví dụ 1 (cho 3.1.1)

...

...

...

369, 378, 315, 420, 385, 401, 372, 383

Cần ước lượng đại lượng được đo.

Giải:

Đại lượng đem đo có thể được ước lượng bằng trung bình mẫu gồm 8 giá trị đo được. Theo công thức (3.1) trung bình mẫu đó bằng:

 = (369 + 378 + 315 + 420 + 385 + 401 + 372 + 383) = 377, 87

A.2. Ví dụ 2 (cho 3.1.2)

Các kết quả đo độ bền của các sợi chỉ được cho trong bảng dưới đây (tính theo gam):

Độ bền của sợi

120 –
140

...

...

...

160 –
170

180 –
200

200 –
220

220 –
240

240 –
260

260 –
280

Tần số

1

4

...

...

...

14

12

6

2

1

Cần ước lượng trung bình độ bền, biết rằng độ bền của các sợi chỉ có phân bố chuẩn.

Giải:

Có thể áp dụng phương pháp ước lượng như trong 3.1.2.

Số khoảng được phân k = 8

...

...

...

1, 4, 10, 14, 12, 6, 2, 1.

Điểm giữa của các khoảng lần lượt bằng:

130, 150, 170, 190, 210, 230, 250, 270.

Cỡ mẫu:

n = 1 + 4 + 10 + 14 + 12 + 6 + 2 + 1 = 50

Vậy theo công thức (3.2) trung bình độ bền được ước lượng bởi:

(1 x 130 + 4 x 150 + 10 x 170 + 14 x 190 + 12 x 210 + 6 x 230 + 2 x 250 + 1 x 270) = 195,2 (gam)

A.3. Ví dụ 3 (cho 3.1.3)

Xét lại ví dụ 1. Khi ước lượng đại lượng đem đo, để giảm nhẹ tính toán có thể sử dụng phương pháp nêu trong 3.1.3.

...

...

...

= 377 + [369 - 377) + (378 - 377) + (315 - 377) + (420 - 377) + (385 - 377) + (401 - 377) + (372 - 377) + (383 - 377)] = 377 + (- 8 + 1 - 62 + 43 + 8 + 24 - 5 + 6) = 377,875

A.4. Ví dụ 4 (cho 3.1.4)

Xét lại ví dụ 2. Khi ước lượng độ bền trung bình ta có thể sử dụng phương pháp nêu trong 4.1.4. Ở đây h = 20, chọn a = 190, có được:

Do đó theo công thức (3.4) độ bền trung bình được ước lượng bởi:

(gam)

A.5. Ví dụ 5 (cho 3.2.1 và 3.2.5)

Với nội dung cho trong ví dụ 1, cần đánh giá sai số bình phương trung bình (tức phương sai) và sai số chuẩn (tức độ lệch chuẩn) của các giá trị đo.

...

...

...

Sai số bình phương trung bình (tức phương sai) của các giá trị đo đạc được ước lượng bằng phương sai mẫu tính theo công thức (3.7):

s₂ = x [369 - 377,87)^2 + (378 - 377,87)^2 + (315 - 377,87)^2 + (420 - 377,87)^2 + (385 - 377,87)^2 + (401 - 377,87)^2 + (372 - 377,87)^2 + (383 - 377,87)^2] = 921,86

Sai số chuẩn (tức độ lệch chuẩn) được ước lượng bằng:

Muốn thu được ước lượng không chệch, sử dụng ước lượng:

= M (7) x s  = 30,36 x 1,036 = 31,453

(giá trị M(7) = 1,036 tra từ Bảng B.1, Phụ lục B).

A.6. Ví dụ 6 (cho 3.2.4)

Xét lại ví dụ 4. Cần ước lượng phương sai của độ bền các sợi chỉ.

...

...

...

Có thể áp dụng phương pháp nêu trong 3.2.4.

1 x (-3)^2 + 4 x (-2)^2 + 10 x (-1)^2 + 14 x 0 + 12 x 1 + 6 x 2^2 + 2 x 3^2 + 1 x 4^2 = 105

[1x(-3) + 4 x (-2) + 10 x (-1) + 14 x 0 + 12 x 1 + 6 x 2 + 2 x 3 + 1 x4]^2 = 3,38

Vậy s^2 = 20 x 2,07 - 4,14

A.7. Ví dụ 7 (cho 4.1)

Biết rằng thời gian để sản xuất xong một chi tiết máy là đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với độ lệch chuẩn s = 1,7 s. Trên cơ sở 100 lần thực nghiệm, người ta lại thấy rằng thời gian trung bình để sản xuất một chi tiết máy đó là  = 5,5 s.

Hãy xác định:

a) Khoảng tin cậy một phía (m_D, ¥),

...

...

...

c) Khoảng tin cậy hai phía (m_D, m_T),

của trung bình thời gian sản xuất một chi tiết máy với mức tin cậy 1 a = 0,99.

Giải:

Tra Bảng B.2 ta được:

Vậy:

a) m_D = 5,5 – 0,231 x 1,7 = 5,107

Khoảng tin cậy một phía (m_D, ¥) với mức tin cậy 0,99 là (5,107 s; ¥).

b) m_T = 5,5 + 0,231 x 1,7 = 5,893

...

...

...

c) m_D = 5,5 – 0,256 x 1,7 = 5,065

m_T = 5,5 + 0,256 x 1,7 = 5,935

Khoảng tin cậy hai phía (m_D, m_T) là (5,065 s; 5,935 s).

A.8. Ví dụ 8 (cho 4.2.1)

Xét lại ví dụ 1. Cần xác định khoảng tin cậy một phía (m_D, ¥) với mức tin cậy 1 - a = 0,95 của trung bình các số đo.

Giải:

Ở đây n = 8; x = 377,87; s = 30,36.

Tra Bảng B.4 được , vậy giới hạn tin cậy dưới khoảng tin cậy một phía (m_D, ¥) của trung bình các số đo với mức tin cậy 1 -a = 0,95 bằng:

m_D = 377,87 – 0,67 x 30,36 = 357,53

...

...

...

A.9. Ví dụ 9 (cho 4.2.2)

Xét lại ví dụ 1. Cần xác định khoảng tin cậy một phía (-¥, m_T) của trung bình các số đo với mức tin cậy 0,95.

Giải:

Tra Bảng B.4 được và do đó:

m_T = 377,87 + 0,67 x 30,36 = 398,21

Khoảng tin cậy cần xác định là (-¥; 398,21).

A.10. Ví dụ 10 (cho 4.2.3)

Xét lại ví dụ 1. Cần xác định khoảng tin cậy hai phía (m_D, m_T) của trung bình các số đo với mức tin cậy 1 - a = 0,95.

Giải:

...

...

...

Các giới hạn dưới và trên của khoảng tin cậy cần xác định là:

m_D = 377,870 – 0,836 x 30,36 = 352,49

m_T = 377,870 + 0,836 x 30,36 = 403,25

Khoảng tin cậy cần tìm là (352,49; 403,25).

A.11. Ví dụ 11 (cho 4.3)

Xét lại ví dụ 1. Cần xác định:

a) Khoảng tin cậy một phía (),

b) Khoảng tin cậy một phía

...

...

...

của sai số bình phương trung bình (phương sai) của số đo với mức tin cậy 0,95.

Giải:

(369 - 377,87)^2 + (378 - 377,87)^2 + (315 - 377,87)^2 + (420 - 377,87)^2 + (385 - 377,87)^2 + (401 - 377,87)^2 + (372 - 377,87)^2 + (383 - 377,87)^2 = 6 453,020

Tra Bảng B.5, Phụ lục B được:

(7) = 14,067;          (7) = 2,167;           (7) = 16,013;          (7) = 1,690;

vậy:

a)

Khoảng tin cậy một phía (, ¥) cần xác định là (458,735; ¥).

...

...

...

Khoảng tin cậy một phía cần xác định là (-¥; 2 977,859).

c)

Khoảng tin cậy hai phía  cần xác định là ( 402,986; 3 818,355).

A.12. Ví dụ 12 (cho 5.1.1)

Biết rằng chiều dài của những đoạn ống do một máy cắt ống tự động cắt ra là biến ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với phương sai s^2 = 22. Hãy kiểm nghiệm giả thuyết độ dài trung bình bằng 1 200 mm với a = 0,01 dựa vào tập các số liệu đo được trên một mẫu ngẫu nhiên đơn giản gồm 16 đoạn ống sau đây:

1 193, 1 198, 1 203, 1 191, 1 195, 1 196, 1 199, 1 191, 1 201, 1 196, 1 193, 1 198, 1 204, 1 196, 1 198, 1 200 (đơn vị là milimet).

Giải:

Ở đây n = 16, m_o = 1 200,

...

...

...

Với a = 0,01 tra Bảng B.2 được:

Do đó:

Vì

nên giả thuyết nói rằng chiều dài trung bình của các đoạn ống đã cắt bằng 1 200 mm không bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,01.

A.13. Ví dụ 13 (cho 5.1.2)

Xét lại ví dụ 12, nhưng giả sử chưa biết giá trị s^2.

...

...

...

Ước lượng độ lệch chuẩn mẫu

Với a = 0,01 tra Bảng B.4 được:

Do đó:

Vì

giả thuyết nói rằng chiều dài trung bình của các đoạn ống đã cắt bằng 1 200 mm không bị bác bỏ (tức được chấp nhận) ở mức ý nghĩa a = 0,01.

...

...

...

Người ta cần kiểm tra xem một phương pháp sản xuất mới có nâng cao được chất lượng bê tông không, biết rằng độ bền của bê tông (tính bằng kg/cm^2) sản xuất theo hai phương pháp mới và cũ là những đại lượng ngẫu nhiên có phân bố chuẩn với phương sai lần lượt là  = 46 và  = 30,4. Để làm việc đó, người ta lấy 20 phần nguyên liệu như nhau, chia ngẫu nhiên 20 phần đó ra làm hai nhóm, mỗi nhóm 10 phần; sau đó áp dụng mỗi phương pháp cho một nhóm, sản xuất ra 10 – 10 khối bê tông giống nhau về hình dạng. Gọi x₁ và x₂ lần lượt là độ bền của bê tông sản xuất theo phương pháp mới và cũ. Thử nghiệm độ bền của các khối bê tông đúc được theo hai phương pháp trong hai nhóm nguyên liệu, người ta đã thu được các số liệu sau đây:

X₁

x₂

305

317

308

300

314

316

...

...

...

309

306

300

301

303

288

294

293

298

...

...

...

295

Giải:

Áp dụng quy tắc nêu trong 5.2.1.1 với a = 0,05.

= 310;                                   = 297

Tra dòng 1 Bảng B.2 được:

u_1-a = 1,645

Do đó

u_1-a s_d = 4,547

...

...

...

= 310 > 292,453 = - u_1-a x s_d

giả thuyết nói rằng độ bền trung bình của bê tông sản xuất theo phương pháp mới không nhỏ hơn độ bền trung bình của bê tông sản xuất theo phương pháp cũ được chấp nhận ở mức ý nghĩa a = 0,05.

A.15. Ví dụ 15 (cho 5.2.2)

Để so sánh độ chính xác của hai dụng cụ đo, người ta dùng mỗi dụng cụ để đo 10 lần cùng một đại lượng. Biết rằng sai số đo đạc của hai dụng cụ đều là những biến ngẫu nhiên phân bố chuẩn có phương sai bằng nhau, hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng sai số trung bình của dụng cụ đo thứ nhất là không nhỏ hơn sai số trung bình của dụng cụ đo thứ hai ở mức ý nghĩa a = 0,05. Các sai số xác định được trong mỗi lần đo của hai dụng cụ là như sau:

x₁

x₂

2,297

2,582

1,949

...

...

...

2,040

2,133

1,855

1,986

1,642

2,915

2,286

2,327

2,388

...

...

...

3,158

2,750

2,222

2,367

2,247

2,512

Sử dụng quy tắc nêu trong 5.2.2.1

= 2,176;                    = 2,543

S(x_1j - )^2 = 1,251;                    S(x_2j - )^2 = 1,177

...

...

...

Tra Bảng B.3 với 1 - a = 0,95, v = 18 được:

t_1-a (v) = 1,734

Do đó:

t_1-a (v) s_d = 0,284

Vì

= 2,176 < 2,259 = - t_1-a (v)s_d

nên giả thuyết nói rằng sai số trung bình của dụng cụ đo thứ nhất không nhỏ hơn sai số trung bình của dụng cụ đo thứ hai bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,05.

A.16. Ví dụ 16 (cho 5.3)

Với số liệu cho trong cột x₁ ví dụ 14, hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng phương sai của sai số đo đạc bằng dụng cụ đo thứ nhất không lớn hơn = 0,090 với mức ý nghĩa a được chọn bằng 0,05.

...

...

...

Tính tỷ số:

Tra Bảng B.5 được:

Vì

nên giả thuyết nêu ra không bị bác bỏ, các số liệu mẫu không mâu thuẫn với giả thuyết đó ở mức ý nghĩa a = 0,05.

A.17. Ví dụ 17 (cho 5.4)

Với số liệu cho trong ví dụ 14, hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng phương sai của sai số đo đạc bởi hai dụng cụ đo là bằng nhau: , ở mức ý nghĩa a = 0,05.

...

...

...

Ở đây

v₁ = v₂ = 9

                              

Từ đó có

Tra Bảng B.6 và áp dụng phép nội suy, thu được

Từ đó có

...

...

...

nên ta không bác bỏ giả thuyết đã nêu trên cơ sở số liệu mẫu ở mức ý nghĩa a = 0,05.

A.18. Ví dụ 18 (cho 6.1.1.1)

Xét lại vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết đã nêu trong ví dụ 12. Cần xác định xác suất mắc sai lầm loại hai b, tức xác suất chấp nhận giả thuyết m = 1 200 khi trên thực tế m = 1 195.

Giải:

Giá trị tham số l ứng với đối thuyết cụ thể m = 1 195 bằng:

Tra tập đường 4.1 Phụ lục C, ứng với l = 6,667 trên đường v = 15 thu được b = 0,000 8.

A.19. Ví dụ 19 (cho 6.1.1.2)

...

...

...

Giải:

Xác định giá trị tham số l ứng với đối thuyết cụ thể m = 1 195:

Tra tập đường 4.1 Phụ lục C, trên đường gián đoạn ứng với b = 0,01 điểm có hoành độ l = 1,667 cho tung độ bằng 9. Vậy có thể giảm cỡ mẫu cần lấy xuống n = 9.

A.20. Ví dụ 20 (cho 6.1.2.1)

Xét lại vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết đã nêu trong ví dụ 13. Cần xác định sai lầm loại hai, khi trên thực tế m = 1 195 mm.

Giải:

Ước lượng độ lệch tiêu chuẩn dựa trên các giá trị mẫu:

s = 4,382

...

...

...

Do đó rất ít khả năng s sẽ lớn hơn

Tra tập đường 4.1 Phụ lục C với v = 15 và

thu được b = 0,59. Vậy sai lầm loại hai sẽ nhỏ hơn 0,59.

A.21. Ví dụ 21 (cho 6.1.2.2)

Xét lại ví dụ 13 và ví dụ 20. Cần xác định cỡ mẫu phải chọn n sao cho khi áp dụng quy tắc kiểm nghiệm thì sai lầm loại hai b phải chịu không lớn hơn 0,05.

Giải:

Tra tập đường 4.2 Phụ lục C với

...

...

...

và b = 0,05 thu được n = 44.

A.22. Ví dụ 22 (cho 6.2.1.1)

Xét vấn đề kiểm nghiệm đã nêu trong ví dụ 14. Cần xác định sai lầm loại hai b, khi trên thực tế m₂ – m₁ = 6.

Giải:

Tính được

s_d = 2,746

Tra tập đường 1.1 Phụ lục C với

đường v = ¥ cho b = 0,28.

...

...

...

Tiếp tục ví dụ 22. Cần xác định các cỡ mẫu lớn hơn để sai lầm loại hai giảm xuống 0,10.

Giải:

Tra tập đường 1.1 Phụ lục C. Trên đường v = ¥ điểm có tung độ b = 0,10 sẽ có hoành độ l = 2,88.

Vậy

A.24. Ví dụ 24 (cho 6.2.2.1)

Xét vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết đã nêu trong ví dụ 15. Cần xác định sai lầm loại hai b, khi trên thực tế m₂ – m₁ = 0,300.

Giải:

 = 2,176;                               = 2, 543;

...

...

...

Hai phương sai mẫu sai khác không đáng kể, có thể chấp nhận

Ước lượng phương sai chung s^2 của x₁ và x₂ bằng

Cận trên khoảng tin cậy một phía của s^2 với mức tin cậy 1 - a = 0,95 là

Vậy rất ít khả năng s lớn hơn .

Suy ra cận dưới của tham số l xác định đối thuyết cụ thể m₂ – m₁ = 0,300 bằng:

Với v = 18, l_D = 1,318, tập đường 1.1 Phụ lục C cho b = 0,65. Vậy cận trên của sai lầm loại hai xấp xỉ bằng 0,65.

...

...

...

Tiếp tục ví dụ 24. Cần xác định các cỡ mẫu chung lớn hơn để sai lầm loại hai b không lớn hơn 0,20.

Giải:

Tra tập đường 1.2 Phụ lục C. Với

và b = 0,20 thu được n = 38.

A.26. Ví dụ 26 (cho 6.3.1)

Xét tiếp ví dụ 16. Cần xác định sai lầm loại hai b khi trên thực tế s = 0,20.

Giải:

Tập đường cần tra là tập 7.1 Phụ lục C với

...

...

...

đường v = 9 cho b = 0,08.

A.27. Ví dụ 27 (cho 6.3.2)

Xét vấn đề kiểm nghiệm giả thuyết nêu trong ví dụ 16 và 26, cần xác định cỡ mẫu n để sai lầm loại hai phải chịu giảm xuống 0,05 khi trên thực tế s = 0,20.

Giải: Tra tập đường 7.2 Phụ lục C với b = 0,05 và

.

Có n = 11.

A.28. Ví dụ 28 (cho 6.4.1)

Xét tiếp vấn đề kiểm nghiệm nêu trong ví dụ 17. Cần xác định sai lầm loại hai b khi trên thực tế:

...

...

...

Tập đường cần tra là tập 13.1. Với

và n = 10 thu được b = 0,65.

A.29. Ví dụ 29 (cho 6.4.2)

Tiếp tục ví dụ 28. Cần xác định cỡ mẫu chung n = n₁ = n₂ sao cho b giảm xuống 0,10.

Giải:

Tập đường cần tra là tập 13.2 Phụ lục C. Với b = 0,10 và l = 1,5 thu được n = 54.

PHỤ LỤC B

...

...

...

Các bảng số

Bảng B.1 – Hệ số M (v)

v

M (v)

v

M (v)

...

...

...

v

M (v)

1

...

...

...

3

4

5

6

7

8

9

1,253

1,128

...

...

...

1,064

1,051

1,042

1,036

1,032

1,028

10

11

12

...

...

...

14

15

16

17

18

1,025

1,023

1,021

1,019

...

...

...

1,017

1,016

1,015

1,014

19

20

25

30

35

...

...

...

45

50

60

1,013

1,013

1,010

1,008

1,007

1,006

...

...

...

1,005

1,004

Bảng B.2 – Các giá trị của tỉ số U_1-α /

n

Trường hợp hai phía

Trường hợp một phía

...

...

...

1

2

3

4

5

6

7

8

9

...

...

...

11

12

13

14

15

16

17

18

19

...

...

...

21

22

23

24

25

26

27

28

...

...

...

30

31

41

51

61

71

81

91

...

...

...

201

501

1,960

1,386

1,132

0,980

0,877

0,800

0,741

...

...

...

0,653

0,620

0,591

0,566

0,544

0,524

0,506

0,490

0,475

...

...

...

0,450

0,438

0,428

0,418

0,409

0,400

0,392

0,384

...

...

...

0,370

0,364

0,358

0,352

0,306

0,274

0,251

0,233

...

...

...

0,205

0,195

0,138

0,088

0

2,576

1,821

1,487

1,288

...

...

...

1,052

0,974

0,911

0,859

0,815

0,777

0,744

0,714

0,688

...

...

...

0,644

0,625

0,607

0,591

0,576

0,562

0,549

0,537

...

...

...

0,515

0,505

0,496

0,487

0,478

0,470

0,463

0,402

...

...

...

0,330

0,306

0,286

0,270

0,256

0,182

0,115

0

1,645

...

...

...

0,950

0,822

0,736

0,672

0,622

0,582

0,548

0,520

0,496

...

...

...

0,456

0,440

0,425

0,411

0,399

0,388

0,377

0,368

...

...

...

0,351

0,343

0,336

0,329

0,323

0,317

0,311

0,305

0,300

...

...

...

0,295

0,257

0,230

0,211

0,195

0,183

0,172

0,164

0,116

...

...

...

0

2,326

1,645

1,343

1,163

1,040

0,950

0,879

0,822

...

...

...

0,735

0,701

0,671

0,645

0,622

0,601

0,582

0,564

0,548

...

...

...

0,520

0,508

0,496

0,485

0,475

0,465

0,456

0,448

...

...

...

0,432

0,425

0,418

0,363

0,326

0,298

0,276

0,258

...

...

...

0,231

0,164

0,104

0

Bảng B.3 – Phân vị của phân bố t (phân bố Student)

v

Trường hợp hai phía

Trường hợp một phía

t _0,975

...

...

...

t _0,95

t _0,99

1

2

3

4

5

6

7

...

...

...

9

10

11

12

13

14

15

16

...

...

...

18

19

20

21

22

23

24

25

...

...

...

27

28

29

30

40

60

120

12,706

...

...

...

3,182

2,776

2,571

2,447

2,365

2,306

2,262

2,288

...

...

...

2,179

2,160

2,145

2,131

2,120

2,110

2,101

2,093

2,086

...

...

...

2,080

2,074

2,069

2,064

2,060

2,056

2,052

2,048

2,045

...

...

...

2,021

2,000

1,980

1,960

63,657

9,925

5,841

4,604

...

...

...

3,707

3,499

3,355

3,250

3,169

3,106

3,055

3,012

...

...

...

2,947

2,921

2,898

2,878

2,861

2,845

2,831

2,819

...

...

...

2,797

2,787

2,779

2,771

2,763

2,756

2,750

2,704

...

...

...

2,617

2,576

6,314

2,920

2,353

2,132

2,015

1,943

1,895

...

...

...

1,833

1,812

1,796

1,782

1,771

1,761

1,753

1,746

...

...

...

1,734

1,729

1,725

1,721

1,717

1,714

1,711

1,708

...

...

...

1,703

1,701

1,699

1,697

1,684

1,671

1,658

1,645

...

...

...

6,965

4,541

3,747

3,365

3,143

2,998

2,896

2,821

2,764

...

...

...

2,718

2,681

2,650

2,624

2,602

2,583

2,567

2,552

2,539

...

...

...

2,518

2,508

2,500

2,492

2,485

2,479

2,473

2,467

...

...

...

2,457

2,423

2,390

2,358

2,326

Bảng B.4 – Các giá trị của tỷ số t_1-α (v)/với v = n -1

V = n - 1

Trường hợp hai phía

...

...

...

1

2

3

4

5

...

...

...

7

8

9

10

11

12

13

14

...

...

...

16

17

18

19

20

21

22

23

...

...

...

25

26

27

28

29

30

40

50

...

...

...

70

80

90

100

200

500

-

8,985

2,434

...

...

...

1,242

1,049

0,925

0,836

0,769

0,715

0,672

0,635

...

...

...

0,577

0,554

0,533

0,514

0,497

0,482

0,468

0,455

...

...

...

0,432

0,422

0,413

0,404

0,396

0,388

0,380

0,373

0,367

...

...

...

0,316

0,281

0,256

0,237

0,221

0,208

0,197

0,139

0,088

...

...

...

45,013

5,730

2,920

2,059

1,646

1,401

1,237

1,118

1,028

...

...

...

0,897

0,847

0,805

0,769

0,737

0,708

0,683

0,660

...

...

...

0,621

0,604

0,588

0,573

0,559

0,547

0,535

0,524

...

...

...

0,503

0,494

0,422

0,375

0,341

0,314

0,293

0,276

...

...

...

0,183

0,116

0

4,465

1,686

1,177

0,953

0,823

0,734

...

...

...

0,620

0,580

0,546

0,518

0,494

0,473

0,455

0,438

...

...

...

0,410

0,398

0,387

0,376

0,367

0,358

0,350

0,342

...

...

...

0,328

0,322

0,316

0,310

0,305

0,263

0,235

0,214

...

...

...

0,185

0,174

0,165

0,117

0,074

0

22,501

4,021

2,270

...

...

...

1,374

1,188

1,060

0,966

0,892

0,833

0,785

0,744

...

...

...

0,678

0,651

0,626

0,605

0,586

0,568

0,552

0,537

...

...

...

0,510

0,498

0,487

0,477

0,467

0,458

0,449

0,441

...

...

...

0,337

0,306

0,283

0,264

0,248

0,235

0,165

0,104

0

...

...

...

v

Trường hợp hai phía

Trường hợp một phía

...

...

...

1

2

3

4

5

6

7

8

...

...

...

10

11

12

13

14

15

16

17

...

...

...

19

20

21

22

23

24

25

26

...

...

...

28

29

30

0,001

0,051

0,216

0,484

0,831

1,237

...

...

...

2,180

2,700

3,247

3,816

4,404

5,009

5,629

6,262

...

...

...

7,564

8,231

8,907

9,591

10,283

10,982

11,689

12,401

...

...

...

13,844

14,573

15,308

16,047

16,791

5,023

7,378

9,348

11,143

...

...

...

14,449

16,013

17,535

19,023

20,483

21,920

23,337

24,736

...

...

...

27,488

28,845

30,191

31,526

32,852

34,170

35,479

36,781

...

...

...

39,364

40,647

41,923

43,194

44,461

45,722

46,979

0,000 039 3

0,010

...

...

...

0,207

0,412

0,676

0,989

1,344

1,735

2,156

2,603

...

...

...

3,565

4,075

4,601

5,142

5,697

6,265

6,844

7,434

...

...

...

8,643

9,260

9,886

10,520

11,160

11,808

12,461

13,121

13,787

...

...

...

10,597

12,838

14,860

16,750

18,548

20,278

21,955

23,589

25,188

...

...

...

26,757

28,300

29,819

31,319

32,801

34,267

35,719

37,156

38,582

...

...

...

41,401

42,796

44,181

45,559

46,928

48,290

49,645

50,993

...

...

...

53,672

0,004

0,103

0,352

0,711

1,145

1,635

2,167

2,733

...

...

...

3,940

4,575

5,226

5,892

6,571

7,261

7,962

8,672

...

...

...

10,117

10,851

11,591

12,338

13,091

13,848

14,661

15,379

...

...

...

16,928

17,708

18,493

3,841

5,991

7,815

9,488

11,071

12,592

...

...

...

15,507

16,919

18,307

19,675

21,026

22,362

23,685

34,996

...

...

...

27,587

28,869

30,144

31,410

32,671

33,924

35,173

36,415

...

...

...

38,885

40,113

41,337

42,557

43,773

0,000 2

0,020

0,115

0,297

...

...

...

0,872

1,239

1,646

2,088

2,558

3,053

3,571

4,107

...

...

...

5,229

5,812

6,408

7,015

7,633

8,260

8,897

9,542

...

...

...

10,856

11,524

12,198

12,879

13,565

14,257

14,954

6,635

9,210

...

...

...

13,277

15,086

16,812

18,475

20,090

21,666

23,209

24,725

...

...

...

27,688

29,141

30,578

32,000

33,409

34,805

38,191

37,566

...

...

...

40,289

41,638

42,980

44,314

45,642

46,963

48,278

49,588

50,892

...

...

...

Giá trị của F_1-a (1, 2), a = 0,05

4

5

6

7

8

10

12

...

...

...

20

24

30

40

60

120

4

5

6

...

...

...

8

10

12

15

20

24

30

40

60

...

...

...

6,39

5,19

4,53

4,12

3,84

3,48

3,26

3,06

2,87

...

...

...

2,69

2,61

2,53

2,45

6,26

5,05

4,39

3,97

3,69

...

...

...

3,11

2,90

2,71

2,62

2,53

2,45

2,37

2,29

6,16

...

...

...

4,28

3,87

3,58

3,22

3,00

2,79

2,60

2,51

2,42

...

...

...

2,25

2,17

6,09

4,88

4,21

3,79

3,50

3,14

2,91

...

...

...

2,51

2,42

2,33

2,25

2,17

2,09

6,04

4,82

4,15

...

...

...

3,44

3,07

2,85

2,64

2,45

2,36

2,27

2,18

2,10

...

...

...

5,96

4,74

4,06

3,64

3,35

2,98

2,75

2,54

2,35

...

...

...

2,16

2,08

1,99

1,91

5,91

4,68

4,00

3,57

3,28

...

...

...

2,69

2,48

2,28

2,18

2,09

2,00

1,92

1,83

5,86

...

...

...

3,94

3,51

3,22

2,85

2,62

2,40

2,20

2,11

2,01

...

...

...

1,84

1,75

5,80

4,56

3,87

3,44

3,15

2,77

2,54

...

...

...

2,12

2,03

1,93

1,84

1,75

1,66

5,77

4,53

3,84

...

...

...

3,12

2,74

2,51

2,29

2,08

1,98

1,89

1,79

1,70

...

...

...

5,75

4,50

3,81

3,38

3,08

2,70

2,47

2,25

2,04

...

...

...

1,84

1,74

1,65

1,55

5,72

4,46

3,77

3,34

3,04

...

...

...

2,43

2,20

1,99

1,89

1,79

1,69

1,59

1,50

5,69

...

...

...

3,74

3,30

3,01

2,62

2,38

2,16

1,95

1,84

1,74

...

...

...

1,53

1,43

5,66

4,40

3,70

3,27

2,97

2,58

2,34

...

...

...

1,90

1,79

1,68

1,58

1,47

1,35

Giá trị của F_1-a (1, 2), a = 0,025

4

...

...

...

6

7

8

10

12

15

20

24

30

...

...

...

60

120

4

5

6

7

8

10

12

...

...

...

20

24

30

40

60

120

9,60

7,39

6,23

...

...

...

5,05

4,47

4,12

3,80

3,51

3,38

3,25

3,13

3,01

...

...

...

9,36

7,15

5,99

5,29

4,82

4,24

3,89

3,58

3,29

...

...

...

3,03

2,90

2,79

2,67

9,20

6,98

5,82

5,12

4,65

...

...

...

3,73

3,41

3,13

2,99

2,87

2,74

2,63

2,52

9,07

...

...

...

5,70

4,99

4,53

3,95

3,61

3,29

3,01

2,87

2,75

...

...

...

2,51

2,39

8,98

6,76

5,60

4,90

4,43

3,85

3,51

...

...

...

2,91

2,78

2,65

2,53

2,41

2,30

8,84

6,62

5,46

...

...

...

4,30

3,72

3,37

3,06

2,77

2,64

2,51

2,39

2,27

...

...

...

8,75

6,52

5,37

4,67

4,20

3,62

3,28

2,96

2,68

...

...

...

2,41

2,29

2,17

2,05

8,66

6,43

5,27

4,57

4,10

...

...

...

3,18

2,86

2,57

2,44

2,31

2,18

2,06

1,94

8,56

...

...

...

5,17

4,47

4,00

3,42

3,07

2,76

2,46

2,33

2,20

...

...

...

1,94

1,82

8,51

6,28

5,12

4,42

3,95

3,37

3,02

...

...

...

2,41

2,27

2,14

2,01

1,88

1,76

8,46

6,23

5,07

...

...

...

3,89

3,31

2,96

2,64

2,35

2,21

2,07

1,94

1,82

...

...

...

8,41

6,18

5,01

4,31

3,84

3,26

2,91

2,59

2,29

...

...

...

2,01

1,88

1,74

1,61

8,36

6,12

4,96

4,25

3,78

...

...

...

2,85

2,52

2,22

2,08

1,94

1,80

1,67

1,53

8,31

...

...

...

4,90

4,20

3,73

3,14

2,79

2,46

2,16

2,01

1,87

...

...

...

1,58

1,43

Bảng B.6 (kết thúc)

Giá trị của F_1-a (1, 2), a = 0,01

4

5

6

7

...

...

...

10

12

15

20

24

30

40

60

120

...

...

...

5

6

7

8

10

12

15

20

24

...

...

...

40

60

120

15,98

11,39

9,15

7,85

7,01

5,99

...

...

...

4,89

4,43

4,22

4,02

3,83

3,65

3,48

15,52

10,97

...

...

...

7,46

6,63

5,64

5,06

4,56

4,10

3,90

3,70

3,51

...

...

...

3,17

15,21

10,67

8,47

7,19

6,37

5,39

4,82

4,32

...

...

...

3,67

3,47

3,29

3,12

2,96

15,80

10,29

8,10

6,84

...

...

...

5,06

4,50

4,00

3,56

3,36

3,17

2,90

2,82

2,66

...

...

...

10,46

8,26

6,99

6,18

5,20

4,64

4,14

3,70

3,50

...

...

...

3,12

2,95

2,79

14,55

10,05

7,87

6,62

5,81

4,85

...

...

...

3,80

3,37

3,17

2,98

2,80

2,63

2,47

14,37

9,89

...

...

...

6,47

5,67

4,71

4,16

3,67

3,23

3,03

2,84

2,66

...

...

...

2,34

14,20

9,72

7,56

6,31

5,52

4,56

4,01

3,52

...

...

...

2,89

2,70

2,52

2,35

2,19

14,02

9,55

7,40

6,16

...

...

...

4,41

3,86

3,37

2,94

2,74

2,55

2,37

2,20

2,03

...

...

...

9,47

7,31

6,07

5,28

4,33

3,78

3,29

2,86

2,66

...

...

...

2,29

2,12

1,95

13,84

9,38

7,23

5,99

5,20

4,25

...

...

...

3,21

2,78

2,58

2,39

2,20

2,03

1,86

13,75

9,29

...

...

...

5,91

5,12

4,17

3,62

3,13

2,69

2,49

2,30

2,11

...

...

...

1,76

13,65

9,20

7,06

5,82

5,03

4,08

3,54

3,05

...

...

...

2,40

2,21

2,02

1,84

1,66

13,56

9,11

6,97

5,74

...

...

...

4,00

3,45

2,96

2,52

2,31

2,11

1,92

1,73

1,53

...

...

...

4

5

6

7

8

10

12

15

...

...

...

24

30

40

60

120

4

5

6

7

...

...

...

10

12

15

20

24

30

40

60

120

...

...

...

15,56

12,03

10,05

8,81

7,34

6,52

5,80

5,17

4,89

...

...

...

4,37

4,14

3,92

22,46

14,94

11,46

9,52

8,30

6,87

...

...

...

5,37

4,76

4,49

4,29

3,99

3,76

3,55

21,97

14.51

...

...

...

9,16

7,95

6,54

5,76

5,07

4,47

4,20

3,95

3,71

...

...

...

3,28

21,62

14,20

10,79

8,89

7,69

6,30

5,52

4,85

...

...

...

3,99

3,74

3,51

3,29

3,09

21,25

13,96

10,57

8,68

...

...

...

6,12

5,35

4,67

4,09

3,83

3,58

3,35

3,13

2,93

...

...

...

13,62

10,25

8,38

7,21

5,85

5,09

4,42

3,85

3,59

...

...

...

3,12

2,90

2,71

20,70

13,38

10,03

8,18

7,01

5,66

...

...

...

4,25

3,68

3,42

3,18

2,95

2,74

2,54

20,44

13,15

...

...

...

7,97

6,81

5,47

4,72

4,07

3,50

3,25

3,01

2,78

...

...

...

2,37

20,17

12,90

9,59

7,75

6,61

5,27

4,53

3,88

...

...

...

3,06

2,82

2,60

2,39

2,19

20,03

12,78

9,47

7,65

...

...

...

5,17

4,43

3,79

3,22

2,97

2,73

2,50

2,29

2,09

...

...

...

12,66

9,36

7,53

6,40

5,07

4,33

3,69

3,12

2,87

...

...

...

2,40

2,19

1,98

19,75

12,53

9,24

7,42

6,29

4,97

...

...

...

3,58

3,02

2,77

2,52

2,30

2,08

1,87

19,61

12,40

...

...

...

7,31

6,18

4,86

4,12

3,48

2,92

2,66

2,42

2,18

...

...

...

1,75

19,47

12,27

9,00

7,19

6,06

4,75

4,01

3,37

...

...

...

2,55

2,30

2,06

1,83

1,61

PHỤ LỤC C

(quy định)

Các tập đường

...

...

...

...

...

...

Tập 9.1 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với một giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,05)

Tập 10.1 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với một giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,01)

...

...

...

Tập 1.2 – Kiểm nghiệm một phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I a = 0,05)

a) Kiểm nghiệm m ≤ m_o hoặc m ≥ m_o

– Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với

...

...

...

b) Kiểm nghiệm m₁ ≤ m₂ hoặc m₁ ≥ m₂

– Nếu s₁ = s₁ = s biết, dùng các đường nét đứt, với

– Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

– Nếu s₁ = s₁ = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

n₁ = n₂ = n (kích thước chung của hai mẫu).

...

...

...

a) Kiểm nghiệm m ≤ m_o hoặc m ≥ m_o

– Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với

b) Kiểm nghiệm m₁ ≤ m₂ hoặc m₁ ≥ m₂

– Nếu s₁ = s₁ = s biết, dùng các đường nét đứt, với

– Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

– Nếu s₁ = s₁ = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

...

...

...

n₁ = n₂ = n (kích thước chung của hai mẫu).

Tập 3.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I  = 0,05)

a) Kiểm nghiệm m = m_o

– Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với

b) Kiểm nghiệm m₁ = m₂

– Nếu s₁ = s₁ = s biết, dùng các đường nét đứt, với

...

...

...

– Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

– Nếu s₁ = s₁ = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

n₁ = n₂ = n (kích thước chung của hai mẫu).

Tập 4.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh các trung bình (sai lầm loại I a = 0,01)

a) Kiểm nghiệm m = m_o

– Nếu s biết, dùng các đường nét đứt, với

...

...

...

b) Kiểm nghiệm m₁ = m₂

– Nếu s₁ = s₁ = s biết, dùng các đường nét đứt, với

– Nếu s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

– Nếu s₁ = s₁ = s chưa biết, dùng các đường liền nét, với

n₁ = n₂ = n (kích thước chung của hai mẫu).

...

...

...

Tập 9.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,05)

Kiểm nghiệm

l = s/ s_o

Tập 10.2 – Kiểm nghiệm hai phía so sánh phương sai với một giá trị cho trước (sai lầm loại I a = 0,01)

...

...

...

l = s/ s_o

Tập 12.2 – Kiểm nghiệm một phía so sánh các phương sai (sai lầm loại I a = 0,01)

PHỤ LỤC D

...

...

...

So sánh hai trung bình trong trường hợp các quan trắc được ghép thành cặp

Một trong những điều kiện áp dụng các quy tắc kiểm nghiệm giả thuyết so sánh hai trung bình đã nêu trong 6.2 là hai tập quan trắc (x_1i) và (x_2i) trên hai mẫu phải độc lập. Trong thực hành nhiều khi điều kiện đó không thỏa mãn, chẳng hạn trong trường hợp các quan trắc được ghép thành cặp.

Hai quan trắc x_1i và x_2i về một đặc trưng hay thuộc tính nào đó gọi là được ghép thành cặp nếu chúng được thực hiện:

– trên cùng một cá thể thứ i lấy ra từ tổng thể nhưng trong những điều kiện khác nhau (ví dụ hai kết quả của hai phương pháp thử nghiệm trên cùng một sản phẩm); hoặc

– trên hai cá thể được coi là như nhau về mọi khía cạnh trừ một khía cạnh có thể có sự khác nhau mang tính hệ thống, mà sự khác nhau đó là đối tượng của việc nghiên cứu (ví dụ khi so sánh năng suất gieo trồng bằng hai loại hạt trên những lô đất cạnh nhau, trong những điều kiện như nhau).

Rõ ràng các quan trắc được ghép thành cặp là không độc lập, vì mỗi quan trắc x1i của dãy thứ nhất được ghép với một quan trắc x_2i của dãy thứ hai. Nếu quan trắc x_1i và x_2i được tiến hành trên cùng một cá thể thứ i, khi đó chúng có thể tương tác, kết quả thu được có thể phụ thuộc vào thứ tự thực hiện.

Ký hiệu:

n = cỡ mẫu chung;

d_i = x_1i – x_2i, hiệu giữa hai giá trị quan trắc được ghép thành cặp thứ i (i = 1, 2 ..., n);

...

...

...

d = trung bình tổng thể của các d_i;

d_o = giá trị cho trước.

Phụ lục này trình bày các quy tắc kiểm nghiệm giả thuyết so sánh trung bình d với d_o. Khi d_o = 0, các vấn đề so sánh ở đây chính là các vấn đề so sánh đã nêu trong 5.2.

Các quy tắc có thể được áp dụng một cách hiệu quả, nếu hai điều kiện sau thỏa mãn:

– Dãy các hiệu d_i = x₁i – x_2i (i = 1, 2 ..., n) có thể được xem như dãy các quan trắc độc lập.

– Phân bố của các d_i là chuẩn hay xấp xỉ chuẩn.

Trong trường hợp tính chuẩn bị vi phạm, các quy tắc vẫn còn hiệu lực nếu cỡ mẫu đủ lớn. Độ lệch càng xa so với phân bố chuẩn, đòi hỏi cỡ mẫu càng lớn. Cỡ mẫu khoảng 100 là đủ cho phần lớn các ứng dụng.

D.1. Quy tắc một phía đề kiểm nghiệm giả thuyết

H_o: d ≥ d_o

...

...

...

H₁: d < d_o

với mức ý nghĩa a như sau:

– Ước lượng trung bình d bằng  tính theo công thức:

– Ước lượng độ lệch chuẩn của các hiệu d_i bằng:

– Tính đại lượng:

trong đó t_1-a (v) là (1 – a) – phân vị của phân bố t với v = n – 1 bậc tự do.

...

...

...

Giá trị  cho trong Bảng B.4 với a = 0,05 và a = 0,01.

D.2. Quy tắc một phía đề kiểm nghiệm giả thuyết

H_o: d ≤ d_o

so với đối thuyết:

H₁: d > d_o

với mức ý nghĩa a như sau:

– Thực hiện các tính toán như trong D.1;

– Nếu  > d_o + A₁ thì H_o bị bác bỏ.

D.3. Quy tắc một phía đề kiểm nghiệm giả thuyết

...

...

...

so với đối thuyết:

H₁: d ¹ d_o

với mức ý nghĩa a như sau:

– Tính  và s_d như trong D.1;

– Tính đại lượng:

trong đó  là  – phân vị của phân bố t với v = n – 1 bậc tự do.

– Nếu thì H_o bị bác bỏ.

Giá trị  cho trong Bảng B.4 với a = 0,05 và a = 0,01.

...

...

...

Cây đứng

Cây đã hạ

Hiệu d_i

20,4

25,4

25,6

25,6

26,6

28,6

...

...

...

29,0

29,8

30,5

30,9

31,1

21,7

26,3

26,8

28,1

...

...

...

27,3

29,5

32,0

30,9

32,3

32,3

31,7

– 1,3

– 0,9

...

...

...

– 2,5

0,4

1,3

– 0,8

– 3,0

– 1,1

– 1,8

– 1,4

– 0,6

...

...

...

 = 28,76

 = −1,08

Giả thuyết rằng các d_i có phân bố chuẩn. Hãy kiểm nghiệm giả thuyết nói rằng về trung bình chiều cao đo được theo hai phương pháp là bằng nhau, tức là hãy kiểm nghiệm giả thuyết:

Ho: d = 0 so với đối thuyết: H₁: d ¹ 0

ở mức ý nghĩa a = 0,05.

Giải:

 = −1,08;                                          

Tra bảng B.4 với a = 0,05, n = 12, v = n – 1 =11 thu được

= 0,635

...

...

...

Vì

nên giả thuyết H_o bị bác bỏ ở mức ý nghĩa a = 0,05.

THƯ MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] ISO 2602 : 1980, Statistical interpretation of test results – Estimation of the mean – Confidence interval (Giải thích thống kê các kết quả kiểm nghiệm – Ước lượng trung bình – Khoảng tin cậy)

[2] ISO 2854 : 1976, Statistical interpretation of data – Techniques of estimation and tests relating to means and variances (Giải thích thống kê dữ liệu – Kỹ thuật ước lượng và kiểm nghiệm liên quan đến trung bình và phương sai)

[3] ISO 3301 : 1975, Statistical interpretation of data – Comparison of two means in the case of paired observations (Giải thích thống kê dữ liệu – So sánh hai trung bình trong trường hợp quan sát hai phía)

...

...

...

MỤC LỤC

Lời nói đầu

1. Phạm vi áp dụng

2. Thuật ngữ và định nghĩa

3. Ước lượng trung bình, phương sai, độ lệch chuẩn

4. Xác định khoảng tin cậy trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn

5. Kiểm nghiệm giả thuyết về trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn

6. Xác định sai lầm loại hai và cỡ mẫu trong kiểm nghiệm giả thuyết

...

...

...

Phụ lục B (quy định) Các bảng số

Phụ lục C (quy định) Các tập đường

Phụ lục D (tham khảo) So sánh hai trung bình trong trường hợp các quan trắc được ghép thành cặp